与えられた積分を計算します。 積分は以下の通りです。 $\int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

積分は以下の通りです。

$\int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $u = e^x$ と置換します。すると $du = e^x dx$ より、$dx = \frac{du}{e^x} = \frac{du}{u}$となります。

これにより、積分は以下のようになります。

$\int \frac{e^{2x}}{(e^x+1)^2} dx = \int \frac{u^2}{(u+1)^2} \frac{du}{u} = \int \frac{u}{(u+1)^2} du$

(2) さらに、$v = u+1$ と置換します。すると $u = v-1$ かつ $dv = du$ となります。

積分は以下のようになります。

$\int \frac{u}{(u+1)^2} du = \int \frac{v-1}{v^2} dv = \int (\frac{v}{v^2} - \frac{1}{v^2}) dv = \int (\frac{1}{v} - \frac{1}{v^2}) dv$

(3) 上記の積分を計算します。

$\int (\frac{1}{v} - \frac{1}{v^2}) dv = \int \frac{1}{v} dv - \int \frac{1}{v^2} dv = \ln|v| + \frac{1}{v} + C$

(4) 変数を元に戻します。まず、$v = u+1$ を代入します。

$\ln|v| + \frac{1}{v} + C = \ln|u+1| + \frac{1}{u+1} + C$

(5) 最後に、$u = e^x$ を代入します。

$\ln|u+1| + \frac{1}{u+1} + C = \ln(e^x+1) + \frac{1}{e^x+1} + C$

3. 最終的な答え

$\ln(e^x+1) + \frac{1}{e^x+1} + C$