与えられた無限等比級数 $x + \frac{x}{1+x} + \frac{x}{(1+x)^2} + \frac{x}{(1+x)^3} + \dots$ が収束するような実数 $x$ の範囲を求めます。ただし、$x \ne -1$ とします。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数

$x + \frac{x}{1+x} + \frac{x}{(1+x)^2} + \frac{x}{(1+x)^3} + \dots$

が収束するような実数 $x$ の範囲を求めます。ただし、$x \ne -1$ とします。

2. 解き方の手順

この無限級数は、初項が $x$、公比が $\frac{1}{1+x}$ の等比級数です。

無限等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいことです。

つまり、

$\left| \frac{1}{1+x} \right| < 1$

が成立する必要があります。

これを解くと、

$-1 < \frac{1}{1+x} < 1$

となります。

まず、$\frac{1}{1+x} < 1$ を解きます。

$\frac{1}{1+x} - 1 < 0$

$\frac{1 - (1+x)}{1+x} < 0$

$\frac{-x}{1+x} < 0$

$\frac{x}{1+x} > 0$

この不等式が成立するのは、$x < -1$ または $x > 0$ のときです。

次に、$-1 < \frac{1}{1+x}$ を解きます。

$0 < \frac{1}{1+x} + 1$

$0 < \frac{1 + (1+x)}{1+x}$

$0 < \frac{2+x}{1+x}$

この不等式が成立するのは、$x < -2$ または $x > -1$ のときです。

上記の2つの条件を組み合わせると、以下のようになります。

$x < -1$ または $x > 0$ かつ $x < -2$ または $x > -1$

つまり、$x < -2$ または $x > 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x < -2$ または $x > 0$