関数 $f(x) = \frac{1}{x^3+1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の、$x = \frac{1}{65}$ における微分係数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^3+1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の、$x = \frac{1}{65}$ における微分係数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f^{-1}(x)$ の微分を求めるために、逆関数の微分公式を使う。逆関数の微分公式は以下の通りである。

$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

次に、$f(x)$ の微分を求める。

$$f(x) = \frac{1}{x^3+1} = (x^3+1)^{-1}$$

$$f'(x) = -(x^3+1)^{-2} \cdot 3x^2 = \frac{-3x^2}{(x^3+1)^2}$$

$f^{-1}(\frac{1}{65})$ を求める必要がある。つまり、$f(x) = \frac{1}{65}$ となる $x$ を求める。

$$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{65}$$

$$x^3+1 = 65$$

$$x^3 = 64$$

$$x = 4$$

したがって、$f^{-1}(\frac{1}{65}) = 4$ である。

次に、$f'(4)$ を計算する。

$$f'(4) = \frac{-3(4^2)}{(4^3+1)^2} = \frac{-3(16)}{(64+1)^2} = \frac{-48}{65^2} = \frac{-48}{4225}$$

最後に、逆関数の微分公式に代入する。

$$(f^{-1})'(\frac{1}{65}) = \frac{1}{f'(f^{-1}(\frac{1}{65}))} = \frac{1}{f'(4)} = \frac{1}{\frac{-48}{4225}} = \frac{4225}{-48} = -\frac{4225}{48}$$

3. 最終的な答え

$$-\frac{4225}{48}$$