(2) $1 \le x \le 4$ のとき、関数 $y = 2(\log_2 x)^2 + 4\log_{\frac{1}{4}}(2x) + \log_2 64$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(2) $1 \le x \le 4$ のとき、関数 $y = 2(\log_2 x)^2 + 4\log_{\frac{1}{4}}(2x) + \log_2 64$ の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を2に統一し、関数を簡略化します。

$\log_{\frac{1}{4}}(2x) = \frac{\log_2(2x)}{\log_2(\frac{1}{4})} = \frac{\log_2(2x)}{\log_2(2^{-2})} = \frac{\log_2(2x)}{-2} = -\frac{1}{2}\log_2(2x)$

$\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$

したがって、関数は次のようになります。

$y = 2(\log_2 x)^2 + 4(-\frac{1}{2}\log_2(2x)) + 6 = 2(\log_2 x)^2 - 2(\log_2 2 + \log_2 x) + 6$

$y = 2(\log_2 x)^2 - 2(1 + \log_2 x) + 6 = 2(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 2 + 6 = 2(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 4$

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、$1 \le x \le 4$ より、$\log_2 1 \le \log_2 x \le \log_2 4$ となり、$0 \le t \le 2$ となります。

$y = 2t^2 - 2t + 4 = 2(t^2 - t) + 4 = 2(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 4 = 2(t - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 4 = 2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{2}$

$y$ は $t = \frac{1}{2}$ のときに最小値 $\frac{7}{2}$ をとります。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$\log_2 x = \frac{1}{2}$ より、$x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

$t$ の範囲 $0 \le t \le 2$ において、$y$ は $t=2$ のとき最大値をとります。

$t = 2$ のとき、$y = 2(2 - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{2} = 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{2} = 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{7}{2} = \frac{9}{2} + \frac{7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t=2$ のとき、$\log_2 x = 2$ より、$x = 2^2 = 4$

3. 最終的な答え

最大値：8 ($x=4$ のとき)

最小値：7/2 ($x=\sqrt{2}$ のとき)

ア = 8

イ = $\sqrt{2}$

ウ = 7/2