$f'(a)$ が存在するとき、極限 $\lim_{x \to a} \frac{a^2 f(x) - x^2 f(a)}{x - a}$ を $f(a)$ と $f'(a)$ で表す問題です。

1. 問題の内容

$f'(a)$ が存在するとき、極限 $\lim_{x \to a} \frac{a^2 f(x) - x^2 f(a)}{x - a}$ を $f(a)$ と $f'(a)$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子に $a^2 f(a) - a^2 f(a) = 0$ を加えます。

$\lim_{x \to a} \frac{a^2 f(x) - a^2 f(a) + a^2 f(a) - x^2 f(a)}{x - a}$

$\lim_{x \to a} \frac{a^2 (f(x) - f(a)) - f(a) (x^2 - a^2)}{x - a}$

次に、それぞれの項を $x - a$ で割ります。

$\lim_{x \to a} \left( a^2 \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - f(a) \frac{x^2 - a^2}{x - a} \right)$

$\lim_{x \to a} \left( a^2 \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - f(a) \frac{(x - a)(x + a)}{x - a} \right)$

ここで、極限をそれぞれの項に分け、$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$ と $\lim_{x \to a} (x+a) = 2a$ を利用します。

$\lim_{x \to a} a^2 \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - \lim_{x \to a} f(a) (x + a)$

$= a^2 f'(a) - f(a) (2a)$

$= a^2 f'(a) - 2a f(a)$

3. 最終的な答え

$a^2 f'(a) - 2a f(a)$