数列の第$n$項が $a_n = \frac{(-2)^{n+1} + 2 \cdot 5^n}{5^n + 2^{n+1}}$ で表されるとき、この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列の第$n$項が $a_n = \frac{(-2)^{n+1} + 2 \cdot 5^n}{5^n + 2^{n+1}}$ で表されるとき、この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を $5^n$ で割る。

$a_n = \frac{(-2)^{n+1} + 2 \cdot 5^n}{5^n + 2^{n+1}} = \frac{\frac{(-2)^{n+1}}{5^n} + 2}{\frac{5^n}{5^n} + \frac{2^{n+1}}{5^n}} = \frac{-2 \cdot \left( -\frac{2}{5} \right)^n + 2}{1 + 2 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^n}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{2}{5} \right)^n = 0$ および $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{5} \right)^n = 0$ である。なぜなら、$-\frac{2}{5}$と$\frac{2}{5}$の絶対値はともに1より小さいからである。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-2 \cdot \left( -\frac{2}{5} \right)^n + 2}{1 + 2 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^n} = \frac{-2 \cdot 0 + 2}{1 + 2 \cdot 0} = \frac{2}{1} = 2$

3. 最終的な答え

数列の極限は2である。

$\lim_{n \to \infty} a_n = 2$