与えられた関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 9$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で極値をとるかどうかを証明付きで答えます。 (2) $f(x, y)$ が極値をとる点をすべて求め、それが極大値か極小値かを判定します。

解析学多変数関数偏微分極値停留点ヘッセ行列
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x,y)=x3+y33xy+9f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 9 について、以下の問いに答えます。
(1) f(x,y)f(x, y) は点 (0,0)(0, 0) で極値をとるかどうかを証明付きで答えます。
(2) f(x,y)f(x, y) が極値をとる点をすべて求め、それが極大値か極小値かを判定します。

2. 解き方の手順

(1)
まず、f(x,y)f(x, y) の偏導関数を計算します。
fx=fx=3x23yf_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y
fy=fy=3y23xf_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x
次に、(0,0)(0, 0) における偏導関数の値を計算します。
fx(0,0)=3(0)23(0)=0f_x(0, 0) = 3(0)^2 - 3(0) = 0
fy(0,0)=3(0)23(0)=0f_y(0, 0) = 3(0)^2 - 3(0) = 0
(0,0)(0, 0) は停留点です。次に二階偏導関数を計算します。
fxx=2fx2=6xf_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x
fyy=2fy2=6yf_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y
fxy=2fxy=3f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -3
fxx(0,0)=6(0)=0f_{xx}(0, 0) = 6(0) = 0
fyy(0,0)=6(0)=0f_{yy}(0, 0) = 6(0) = 0
fxy(0,0)=3f_{xy}(0, 0) = -3
判別式 D=fxxfyyfxy2D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 を計算します。
D(0,0)=(0)(0)(3)2=9<0D(0, 0) = (0)(0) - (-3)^2 = -9 < 0
D<0D < 0 であるため、(0,0)(0, 0) は鞍点であり、極値をとりません。
(2)
極値をとる点を求めるために、fx=0f_x = 0 かつ fy=0f_y = 0 となる点を求めます。
3x23y=03x^2 - 3y = 0 より y=x2y = x^2
3y23x=03y^2 - 3x = 0 より x=y2x = y^2
x=(x2)2=x4x = (x^2)^2 = x^4
x4x=0x^4 - x = 0
x(x31)=0x(x^3 - 1) = 0
x=0x = 0 または x=1x = 1
x=0x = 0 のとき y=02=0y = 0^2 = 0
x=1x = 1 のとき y=12=1y = 1^2 = 1
したがって、停留点は (0,0)(0, 0)(1,1)(1, 1) です。(0,0)(0,0)は(1)で鞍点と分かっているので、(1,1)(1,1)について調べます。
fxx(1,1)=6(1)=6f_{xx}(1, 1) = 6(1) = 6
fyy(1,1)=6(1)=6f_{yy}(1, 1) = 6(1) = 6
fxy(1,1)=3f_{xy}(1, 1) = -3
D(1,1)=(6)(6)(3)2=369=27>0D(1, 1) = (6)(6) - (-3)^2 = 36 - 9 = 27 > 0
fxx(1,1)=6>0f_{xx}(1, 1) = 6 > 0 より、(1,1)(1, 1) は極小値をとります。
f(1,1)=13+133(1)(1)+9=1+13+9=8f(1, 1) = 1^3 + 1^3 - 3(1)(1) + 9 = 1 + 1 - 3 + 9 = 8
したがって、点 (1,1)(1,1)で極小値8をとります。

3. 最終的な答え

(1) f(x,y)f(x, y)(0,0)(0, 0) で極値をとりません。
(2) f(x,y)f(x, y)(1,1)(1, 1) で極小値 88 をとります。

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