与えられた関数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 9$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x, y)$ は点 $(0, 0)$ で極値をとるかどうかを証明付きで答えます。 (2) $f(x, y)$ が極値をとる点をすべて求め、それが極大値か極小値かを判定します。
2025/7/9
1. 問題の内容
与えられた関数 について、以下の問いに答えます。
(1) は点 で極値をとるかどうかを証明付きで答えます。
(2) が極値をとる点をすべて求め、それが極大値か極小値かを判定します。
2. 解き方の手順
(1)
まず、 の偏導関数を計算します。
次に、 における偏導関数の値を計算します。
は停留点です。次に二階偏導関数を計算します。
判別式 を計算します。
であるため、 は鞍点であり、極値をとりません。
(2)
極値をとる点を求めるために、 かつ となる点を求めます。
より
より
または
のとき
のとき
したがって、停留点は と です。は(1)で鞍点と分かっているので、について調べます。
より、 は極小値をとります。
したがって、点 で極小値8をとります。
3. 最終的な答え
(1) は で極値をとりません。
(2) は で極小値 をとります。