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$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ は $\mathbb{R}^2$ 上で $C^2$ 級であり、以下の関係式を満たします。 $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y}$, $\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y}$ 以下の3つの設問に答えてください。 (1) $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ を証明してください。 (2) $r > 0$, $\theta \in \mathbb{R}$ に対して、$\phi(r, \theta) = r\cos\theta$, $\psi(r, \theta) = r\sin\theta$ とし、$F(r, \theta) = f(\phi(r, \theta), \psi(r, \theta))$, $G(r, \theta) = g(\phi(r, \theta), \psi(r, \theta))$ とします。このとき、次の関係式が成り立つことを証明してください。 $r \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial G}{\partial \theta}$, $\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial \theta} = -\frac{\partial G}{\partial r}$ (3) $\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ が $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ 上で成り立つことを証明してください。

解析学偏微分合成関数ラプラス方程式座標変換
2025/7/9

1. 問題の内容

f:R2→Rf: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} と g:R2→Rg: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} は R2\mathbb{R}^2 上で C2C^2 級であり、以下の関係式を満たします。
∂f∂x=∂g∂y\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y}, ∂g∂x=−∂f∂y\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y}
以下の3つの設問に答えてください。
(1) ∂2f∂x2+∂2f∂y2=0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 を証明してください。
(2) r>0r > 0, θ∈R\theta \in \mathbb{R} に対して、ϕ(r,θ)=rcos⁡θ\phi(r, \theta) = r\cos\theta, ψ(r,θ)=rsin⁡θ\psi(r, \theta) = r\sin\theta とし、F(r,θ)=f(ϕ(r,θ),ψ(r,θ))F(r, \theta) = f(\phi(r, \theta), \psi(r, \theta)), G(r,θ)=g(ϕ(r,θ),ψ(r,θ))G(r, \theta) = g(\phi(r, \theta), \psi(r, \theta)) とします。このとき、次の関係式が成り立つことを証明してください。
r∂F∂r=∂G∂θr \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial G}{\partial \theta}, 1r∂F∂θ=−∂G∂r\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial \theta} = -\frac{\partial G}{\partial r}
(3) ∂2F∂r2+1r2∂2F∂θ2+1r∂F∂r=∂2f∂x2+∂2f∂y2\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} が R2∖{(0,0)}\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} 上で成り立つことを証明してください。

2. 解き方の手順

(1)
与えられた条件より、∂f∂x=∂g∂y\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} です。これを xx で偏微分すると、
∂2f∂x2=∂2g∂x∂y\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} が得られます。
また、∂g∂x=−∂f∂y\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y} を yy で偏微分すると、
∂2g∂y∂x=−∂2f∂y2\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = -\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} が得られます。
ここで、ff と gg は C2C^2 級であるから、偏微分の順序交換が可能であり、
∂2g∂x∂y=∂2g∂y∂x\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} が成り立ちます。
したがって、∂2f∂x2=∂2g∂x∂y=∂2g∂y∂x=−∂2f∂y2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = -\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} となります。
よって、∂2f∂x2+∂2f∂y2=0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 が証明されました。
(2)
まず、合成関数の微分公式より、∂F∂r\frac{\partial F}{\partial r} を計算します。
∂F∂r=∂f∂x∂ϕ∂r+∂f∂y∂ψ∂r=∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \psi}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin\theta
また、∂F∂θ\frac{\partial F}{\partial \theta} を計算します。
∂F∂θ=∂f∂x∂ϕ∂θ+∂f∂y∂ψ∂θ=∂f∂x(−rsin⁡θ)+∂f∂y(rcos⁡θ)\frac{\partial F}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} (-r\sin\theta) + \frac{\partial f}{\partial y} (r\cos\theta)
同様に、∂G∂r\frac{\partial G}{\partial r} を計算します。
∂G∂r=∂g∂x∂ϕ∂r+∂g∂y∂ψ∂r=∂g∂xcos⁡θ+∂g∂ysin⁡θ\frac{\partial G}{\partial r} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial r} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial \psi}{\partial r} = \frac{\partial g}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial g}{\partial y} \sin\theta
また、∂G∂θ\frac{\partial G}{\partial \theta} を計算します。
∂G∂θ=∂g∂x∂ϕ∂θ+∂g∂y∂ψ∂θ=∂g∂x(−rsin⁡θ)+∂g∂y(rcos⁡θ)\frac{\partial G}{\partial \theta} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \frac{\partial g}{\partial x} (-r\sin\theta) + \frac{\partial g}{\partial y} (r\cos\theta)
与えられた条件 ∂f∂x=∂g∂y\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} と ∂g∂x=−∂f∂y\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y} を使うと、
r∂F∂r=r∂f∂xcos⁡θ+r∂f∂ysin⁡θ=r∂g∂ycos⁡θ−r∂g∂xsin⁡θ=∂G∂θr \frac{\partial F}{\partial r} = r \frac{\partial f}{\partial x} \cos\theta + r \frac{\partial f}{\partial y} \sin\theta = r \frac{\partial g}{\partial y} \cos\theta - r \frac{\partial g}{\partial x} \sin\theta = \frac{\partial G}{\partial \theta}
1r∂F∂θ=1r(∂f∂x(−rsin⁡θ)+∂f∂y(rcos⁡θ))=−∂f∂xsin⁡θ+∂f∂ycos⁡θ=−∂g∂ysin⁡θ−∂g∂xcos⁡θ=−(∂g∂xcos⁡θ+∂g∂ysin⁡θ)=−∂G∂r\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial \theta} = \frac{1}{r} (\frac{\partial f}{\partial x} (-r\sin\theta) + \frac{\partial f}{\partial y} (r\cos\theta)) = -\frac{\partial f}{\partial x} \sin\theta + \frac{\partial f}{\partial y} \cos\theta = -\frac{\partial g}{\partial y} \sin\theta - \frac{\partial g}{\partial x} \cos\theta = -(\frac{\partial g}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial g}{\partial y} \sin\theta) = -\frac{\partial G}{\partial r}
したがって、r∂F∂r=∂G∂θr \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial G}{\partial \theta} と 1r∂F∂θ=−∂G∂r\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial \theta} = -\frac{\partial G}{\partial r} が証明されました。
(3)
ϕ=rcos⁡θ\phi = r \cos \theta と ψ=rsin⁡θ\psi = r \sin \theta であるから、
x=rcos⁡θx = r \cos \theta と y=rsin⁡θy = r \sin \theta と書けます。
∂F∂r=∂f∂x∂x∂r+∂f∂y∂y∂r=∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta
∂F∂θ=∂f∂x∂x∂θ+∂f∂y∂y∂θ=∂f∂x(−rsin⁡θ)+∂f∂y(rcos⁡θ)\frac{\partial F}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} (-r \sin \theta) + \frac{\partial f}{\partial y} (r \cos \theta)
∂2F∂r2=∂∂r(∂F∂r)=∂∂r(∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ)=(∂2f∂x2cos⁡θ+∂2f∂y∂xsin⁡θ)cos⁡θ+(∂2f∂x∂ycos⁡θ+∂2f∂y2sin⁡θ)sin⁡θ=∂2f∂x2cos⁡2θ+2∂2f∂x∂ycos⁡θsin⁡θ+∂2f∂y2sin⁡2θ\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} = \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial F}{\partial r}) = \frac{\partial}{\partial r} (\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta) = (\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \sin \theta) \cos \theta + (\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \sin \theta) \sin \theta = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cos^2 \theta + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cos \theta \sin \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \sin^2 \theta
∂2F∂θ2=∂∂θ(∂F∂θ)=∂∂θ(∂f∂x(−rsin⁡θ)+∂f∂y(rcos⁡θ))=(∂2f∂x2(−rsin⁡θ)+∂2f∂y∂x(rcos⁡θ))(−rsin⁡θ)+∂f∂x(−rcos⁡θ)+(∂2f∂x∂y(−rsin⁡θ)+∂2f∂y2(rcos⁡θ))(rcos⁡θ)+∂f∂y(−rsin⁡θ)=∂2f∂x2r2sin⁡2θ−2∂2f∂x∂yr2sin⁡θcos⁡θ+∂2f∂y2r2cos⁡2θ−∂f∂xrcos⁡θ−∂f∂yrsin⁡θ\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} = \frac{\partial}{\partial \theta} (\frac{\partial F}{\partial \theta}) = \frac{\partial}{\partial \theta} (\frac{\partial f}{\partial x} (-r \sin \theta) + \frac{\partial f}{\partial y} (r \cos \theta)) = (\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (-r \sin \theta) + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (r \cos \theta)) (-r \sin \theta) + \frac{\partial f}{\partial x} (-r \cos \theta) + (\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (-r \sin \theta) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (r \cos \theta)) (r \cos \theta) + \frac{\partial f}{\partial y} (-r \sin \theta) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} r^2 \sin^2 \theta - 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} r^2 \sin \theta \cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} r^2 \cos^2 \theta - \frac{\partial f}{\partial x} r \cos \theta - \frac{\partial f}{\partial y} r \sin \theta
1r2∂2F∂θ2=∂2f∂x2sin⁡2θ−2∂2f∂x∂ysin⁡θcos⁡θ+∂2f∂y2cos⁡2θ−1r∂f∂xcos⁡θ−1r∂f∂ysin⁡θ\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sin^2 \theta - 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \sin \theta \cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \cos^2 \theta - \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta - \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta
1r∂F∂r=1r(∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ)\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{1}{r} (\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta)
∂2F∂r2+1r2∂2F∂θ2+1r∂F∂r=∂2f∂x2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+∂2f∂y2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=∂2f∂x2+∂2f∂y2\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
したがって、∂2F∂r2+1r2∂2F∂θ2+1r∂F∂r=∂2f∂x2+∂2f∂y2\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} が証明されました。

3. 最終的な答え

(1) ∂2f∂x2+∂2f∂y2=0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0
(2) r∂F∂r=∂G∂θr \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial G}{\partial \theta}, 1r∂F∂θ=−∂G∂r\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial \theta} = -\frac{\partial G}{\partial r}
(3) ∂2F∂r2+1r2∂2F∂θ2+1r∂F∂r=∂2f∂x2+∂2f∂y2\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

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