与えられた陰関数 $y = y(x)$ について、指定された条件における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。 (2) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ について、$x = 1$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求める。 (3) $x^3y^2 + \cos y - \log(2 + x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

与えられた陰関数 $y = y(x)$ について、指定された条件における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。

(1) $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ について、$x = 1$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求める。

(3) $x^3y^2 + \cos y - \log(2 + x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - y^2 = xy$

まず、$x$ で微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$2x - 2y\frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$ について解くと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}$

さらに、$x$ で微分して $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2 - \frac{dy}{dx})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{dy}{dx}$ に $\frac{2x - y}{x + 2y}$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2 - \frac{2x - y}{x + 2y})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{2x - y}{x + 2y})}{(x + 2y)^2}$

$= \frac{2(x+2y)^2 - (2x-y)(x+2y) - (2x-y)(x+2y) - 2(2x-y)^2}{(x+2y)^3}$

$= \frac{2(x^2+4xy+4y^2)-2(2x^2+3xy-2y^2)-2(4x^2-4xy+y^2)}{(x+2y)^3}$

$= \frac{2x^2+8xy+8y^2 -4x^2-6xy+4y^2 -8x^2+8xy-2y^2}{(x+2y)^3}$

$= \frac{-10x^2+10xy+10y^2}{(x+2y)^3}$

$= \frac{10(-x^2+xy+y^2)}{(x+2y)^3}$

ここで、$x^2 - y^2 = xy$ より、$-x^2+xy+y^2 = -2x^2+2y^2 = 2(y^2-x^2)$. また、$y^2 - x^2 = -xy$. したがって、

$-x^2+xy+y^2=-x^2+(x^2-y^2)+y^2=0$

よって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$.

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$

まず、$x=1$ を代入して、$y$ の値を求めます。

$1 + 2y + 2y^2 = 1$

$2y(y+1) = 0$

$y = 0, -1$

$x$ で微分します。

$2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}$

さらに $x$ で微分します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1+\frac{dy}{dx})(x+2y) - (x+y)(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}$

$y=0$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+0}{1+0} = -1$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1-1)(1+0) - (1+0)(1+2(-1))}{(1+0)^2} = -\frac{0 - 1(-1)}{1} = -1$

$y=-1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1-1}{1-2} = 0$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1+0)(1-2) - (1-1)(1+0)}{(1-2)^2} = -\frac{1(-1) - 0}{1} = 1$

(3) $x^3y^2 + \cos y - \log(2 + x^2) = 0$

$x=0$ を代入して、$y$ の値を求めます。

$0 + \cos y - \log 2 = 0$

$\cos y = \log 2$

$y = \arccos (\log 2)$

$x$ で微分します。

$3x^2y^2 + 2x^3y\frac{dy}{dx} - \sin y\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2+x^2} = 0$

$x=0$ のとき、

$0 + 0 - \sin y\frac{dy}{dx} - 0 = 0$

$\frac{dy}{dx} = 0$

さらに $x$ で微分します。

$6xy^2 + 6x^2y\frac{dy}{dx} + 6x^2y\frac{dy}{dx} + 2x^3(\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3y\frac{d^2y}{dx^2} - \cos y(\frac{dy}{dx})^2 - \sin y\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2(2+x^2) - 2x(2x)}{(2+x^2)^2} = 0$

$x=0$ のとき、

$0 + 0 + 0 + 0 - \cos y(0)^2 - \sin y\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{4}{(2)^2} = 0$

$-\sin y\frac{d^2y}{dx^2} - 1 = 0$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{\sin y}$

$\cos y = \log 2$ より、

$\sin y = \sqrt{1 - (\log 2)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\log 2)^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$

(2) $x=1$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値は、$y=0$ のとき $-1$、$y=-1$ のとき $1$

(3) $x=0$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値は $-\frac{1}{\sqrt{1 - (\log 2)^2}}$