$t = \tan{\frac{x}{2}}$ とおくとき、以下の問題を解く。 (1) $\sin{x}$ および $\cos{x}$ を $t$ で表せ。 (2) $\frac{dx}{dt}$ を $t$ で表せ。 (3) 不定積分 $\int \frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$t = \tan{\frac{x}{2}}$ とおくとき、以下の問題を解く。

(1) $\sin{x}$ および $\cos{x}$ を $t$ で表せ。

(2) $\frac{dx}{dt}$ を $t$ で表せ。

(3) 不定積分 $\int \frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin{x}$ および $\cos{x}$ を $t$ で表す。

$t = \tan{\frac{x}{2}}$ より、三角関数の半角の公式を用いると、

$\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

(2) $\frac{dx}{dt}$ を $t$ で表す。

$t = \tan{\frac{x}{2}}$ より、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} \sec^2{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} (1 + \tan^2{\frac{x}{2}}) = \frac{1}{2} (1+t^2)$

よって、$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\frac{dt}{dx}} = \frac{2}{1+t^2}$

(3) 不定積分 $\int \frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}} dx$ を求める。

(1), (2) の結果を用いると、

$\int \frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}} dx = \int \frac{5}{3(\frac{2t}{1+t^2}) + 4(\frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{10}{6t + 4 - 4t^2} dt = \int \frac{10}{-4t^2 + 6t + 4} dt = \int \frac{-5}{2t^2 - 3t - 2} dt$

$\frac{-5}{2t^2 - 3t - 2} = \frac{-5}{(2t+1)(t-2)} = \frac{A}{2t+1} + \frac{B}{t-2}$ と部分分数分解すると、

$-5 = A(t-2) + B(2t+1)$

$t=2$ のとき、$-5 = 5B$ より $B = -1$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$-5 = A(-\frac{5}{2})$ より $A = 2$

よって、$\int \frac{-5}{2t^2 - 3t - 2} dt = \int (\frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t-2}) dt = \int \frac{2}{2t+1} dt - \int \frac{1}{t-2} dt = \ln{|2t+1|} - \ln{|t-2|} + C = \ln{|\frac{2t+1}{t-2}|} + C$

$t = \tan{\frac{x}{2}}$ を代入すると、

$\ln{|\frac{2\tan{\frac{x}{2}}+1}{\tan{\frac{x}{2}}-2}|} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

(2) $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$

(3) $\int \frac{5}{3\sin{x} + 4\cos{x}} dx = \ln{|\frac{2\tan{\frac{x}{2}}+1}{\tan{\frac{x}{2}}-2}|} + C$