問題1は、次の関数を微分せよという問題です。具体的には、 a) $f(x) = \log \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)$ c) $g(x) = \log (2x)$ の2つの関数を微分します。

1. 問題の内容

問題1は、次の関数を微分せよという問題です。具体的には、

a) $f(x) = \log \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)$

c) $g(x) = \log (2x)$

の2つの関数を微分します。

2. 解き方の手順

a) $f(x) = \log \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)$ を微分します。

対数の性質を使って関数を分解します。

$f(x) = \log(2x) - \log(x^2+1)$

それぞれの項を微分します。

$\frac{d}{dx} \log(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} \log(x^2+1) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{x(x^2+1)} = \frac{1-x^2}{x(x^2+1)}$

b) $g(x) = \log (2x)$ を微分します。

$\frac{d}{dx} \log(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

a) $f'(x) = \frac{1-x^2}{x(x^2+1)}$

c) $g'(x) = \frac{1}{x}$