関数 $f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ が与えられています。 (1) $f(x, y)$ の $x$ に関する偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $y$ に関する偏微分 $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。 (2) $f(x, y)$ の臨界点をすべて求めます。 (3) 求めた臨界点において、$f(x, y)$ が極大値を取るか、極小値を取るか、鞍点であるか、またはそれらのいずれでもないかを判定します。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ が与えられています。

(1) $f(x, y)$ の $x$ に関する偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $y$ に関する偏微分 $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

(2) $f(x, y)$ の臨界点をすべて求めます。

(3) 求めた臨界点において、$f(x, y)$ が極大値を取るか、極小値を取るか、鞍点であるか、またはそれらのいずれでもないかを判定します。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分の計算

まず、$f(x, y)$ の $x$ に関する偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5 \right) = x^2 - 2x$

次に、$f(x, y)$ の $y$ に関する偏微分 $\frac{\partial f}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5 \right) = 1 - y^4$

(2) 臨界点の計算

臨界点は、$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ を満たす点です。

$x^2 - 2x = 0$ より、$x(x - 2) = 0$ なので、$x = 0$ または $x = 2$ です。

$1 - y^4 = 0$ より、$y^4 = 1$ なので、$y = 1$ または $y = -1$ です。

したがって、臨界点は $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$ の4点です。

(3) 臨界点の判定

ヘッセ行列 $H$ を計算します。

まず2階偏導関数を計算します。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 - 2x) = 2x - 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (1 - y^4) = -4y^3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 - 2x) = 0$

ヘッセ行列 $H$ は次のようになります。

$H = \begin{pmatrix} 2x - 2 & 0 \\ 0 & -4y^3 \end{pmatrix}$

判別式 $D = \det(H) = (2x - 2)(-4y^3) = -8y^3(x - 1)$ を計算します。

(i) $(0, 1)$ の場合: $D = -8(1)^3(0 - 1) = 8 > 0$ であり、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2(0) - 2 = -2 < 0$ なので、極大点です。

(ii) $(0, -1)$ の場合: $D = -8(-1)^3(0 - 1) = -8 < 0$ なので、鞍点です。

(iii) $(2, 1)$ の場合: $D = -8(1)^3(2 - 1) = -8 < 0$ なので、鞍点です。

(iv) $(2, -1)$ の場合: $D = -8(-1)^3(2 - 1) = 8 > 0$ であり、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2(2) - 2 = 2 > 0$ なので、極小点です。

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^2 - 2x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - y^4$

(2) 臨界点: $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$

(3)

$(0, 1)$: 極大点

$(0, -1)$: 鞍点

$(2, 1)$: 鞍点

$(2, -1)$: 極小点