3次方程式 $x^3 - 6x^2 + 9x = k$ の実数解の個数が、$k$の値によってどのように変化するかを調べる問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x^2 + 9x = k$ の実数解の個数が、$k$の値によってどのように変化するかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^3 - 6x^2 + 9x$ のグラフを描き、そのグラフと直線 $y = k$ の交点の個数を調べることで、実数解の個数を求めることができます。

1. $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ を微分して、増減を調べます。

$y' = 3x^2 - 12x + 9$

$y' = 3(x^2 - 4x + 3)$

$y' = 3(x - 1)(x - 3)$

2. $y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

3. 増減表を作成します。

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| ---- | ----- | ---- | ----- | ---- | ----- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

4. $x = 1$ のとき、$y = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4$ （極大値）

$x = 3$ のとき、$y = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0$ （極小値）

5. したがって、$y = x^3 - 6x^2 + 9x$ のグラフは、$x=1$で極大値$4$をとり、$x=3$で極小値$0$をとる。

6. $y = k$ と $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ の交点の個数は、$k$ の値によって以下のようになります。

* $k < 0$ のとき、交点は1個

* $k = 0$ のとき、交点は2個

* $0 < k < 4$ のとき、交点は3個

* $k = 4$ のとき、交点は2個

* $k > 4$ のとき、交点は1個

7. さらに、グラフから、$k < 0$ のとき負の解が1つ、$k=0$のとき正の解が1つと解0、$0 < k < 4$ のとき正の解が3つ、$k = 4$ のとき正の解が2つ、$k > 4$ のとき正の解が1つになることがわかります。

3. 最終的な答え

* $k < 0$ のとき、実数解は1個

* $k = 0$ のとき、実数解は2個

* $0 < k < 4$ のとき、実数解は3個

* $k = 4$ のとき、実数解は2個

* $k > 4$ のとき、実数解は1個