$\int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + 5} \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + 5} \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、双曲線関数を用いた置換積分を行います。

$x = \sqrt{5} \sinh(u)$ と置換します。すると、$dx = \sqrt{5} \cosh(u) \, du$ となります。

また、$\sqrt{x^2 + 5} = \sqrt{5 \sinh^2(u) + 5} = \sqrt{5(\sinh^2(u) + 1)} = \sqrt{5 \cosh^2(u)} = \sqrt{5} \cosh(u)$ となります。

積分範囲も変換する必要があります。

$x=0$ のとき、$0 = \sqrt{5} \sinh(u)$ より、$\sinh(u) = 0$ なので、$u = 0$。

$x=2$ のとき、$2 = \sqrt{5} \sinh(u)$ より、$\sinh(u) = \frac{2}{\sqrt{5}}$ なので、$u = \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})$。

与えられた積分は、

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\int_{0}^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} \sqrt{5} \cosh(u) \cdot \sqrt{5} \cosh(u) \, du = 5 \int_{0}^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} \cosh^2(u) \, du

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$\cosh^2(u) = \frac{1 + \cosh(2u)}{2}$ を用いると、

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5 \int_{0}^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} \frac{1 + \cosh(2u)}{2} \, du = \frac{5}{2} \int_{0}^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} (1 + \cosh(2u)) \, du

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= \frac{5}{2} \left[ u + \frac{1}{2} \sinh(2u) \right]_{0}^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} = \frac{5}{2} \left[ u + \sinh(u) \cosh(u) \right]_{0}^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})}

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$u = \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})$ とおくと、$\sinh(u) = \frac{2}{\sqrt{5}}$。

$\cosh^2(u) - \sinh^2(u) = 1$ より、$\cosh^2(u) = 1 + \sinh^2(u) = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$。よって、$\cosh(u) = \frac{3}{\sqrt{5}}$。

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\frac{5}{2} \left[ \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} \right] = \frac{5}{2} \left[ \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{6}{5} \right] = \frac{5}{2} \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) + 3

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$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ であるから、

$\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{5}} + \sqrt{\frac{4}{5} + 1}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3}{\sqrt{5}}) = \ln(\frac{5}{\sqrt{5}}) = \ln(\sqrt{5}) = \frac{1}{2} \ln(5)$

したがって、

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\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} \ln(5) + 3 = \frac{5}{4} \ln(5) + 3

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3. 最終的な答え

$\frac{5}{4} \ln(5) + 3$