関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta$ について、以下の問いに答える。 (1) 2倍角の公式を用いて $\sin\theta\cos\theta$ と $\cos^2\theta$ をそれぞれ $\sin2\theta$ と $\cos2\theta$ で表す。 (2) $f(\theta)$ を $\sin2\theta$ と $\cos2\theta$ を用いて表す。さらに、$r\cos(2\theta+\alpha)$ の形に変形する。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta$ について、以下の問いに答える。

(1) 2倍角の公式を用いて $\sin\theta\cos\theta$ と $\cos^2\theta$ をそれぞれ $\sin2\theta$ と $\cos2\theta$ で表す。

(2) $f(\theta)$ を $\sin2\theta$ と $\cos2\theta$ を用いて表す。さらに、$r\cos(2\theta+\alpha)$ の形に変形する。

2. 解き方の手順

(1)

2倍角の公式より、

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ なので、$\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin2\theta}{2}$。

$\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ なので、$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$。

よって、

$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta$ (アの答え)

$\cos^2\theta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ (イの答え)

(2)

$f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta$ に (1) の結果を代入すると、

$f(\theta) = 2\sqrt{3}\left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right) - 2\left(\frac{\sin2\theta}{2}\right)$

$f(\theta) = \sqrt{3}(1+\cos2\theta) - \sin2\theta$

$f(\theta) = \sqrt{3}\cos2\theta - \sin2\theta + \sqrt{3}$

よって、$\sqrt{3}\cos2\theta - \sin2\theta$ を $r\cos(2\theta+\alpha)$ の形に変形する。

$\sqrt{3}\cos2\theta - \sin2\theta = r\cos(2\theta+\alpha) = r(\cos2\theta\cos\alpha - \sin2\theta\sin\alpha)$

係数を比較すると、

$r\cos\alpha = \sqrt{3}$

$r\sin\alpha = 1$

両辺を2乗して足すと、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 3+1 = 4$

$r^2 = 4$

$r>0$ より $r = 2$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{1}{2}$

$-\pi < \alpha < \pi$ より $\alpha = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) ア: (2) $\frac{\sin2\theta}{2}$

イ: (3) $\frac{1+\cos2\theta}{2}$

(2) ウ: $\sqrt{3}$

エ: $\sqrt{3}$

$\sqrt{3}\cos2\theta - \sin2\theta = 2\cos(2\theta+\frac{\pi}{6})$