与えられた積分 $\int \sqrt{x^2 + 5} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{x^2 + 5} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数置換を用いることで解くことができます。

$x = \sqrt{5} \sinh(u)$ と置換します。すると、$dx = \sqrt{5} \cosh(u) \, du$ となります。

このとき、

$x^2 + 5 = 5 \sinh^2(u) + 5 = 5(\sinh^2(u) + 1) = 5 \cosh^2(u)$

であるから、

$\sqrt{x^2 + 5} = \sqrt{5} \cosh(u)$

したがって、積分は

$\int \sqrt{x^2 + 5} \, dx = \int \sqrt{5} \cosh(u) \cdot \sqrt{5} \cosh(u) \, du = 5 \int \cosh^2(u) \, du$

$\cosh^2(u) = \frac{1 + \cosh(2u)}{2}$ であるから、

$5 \int \cosh^2(u) \, du = 5 \int \frac{1 + \cosh(2u)}{2} \, du = \frac{5}{2} \int (1 + \cosh(2u)) \, du = \frac{5}{2} (u + \frac{1}{2} \sinh(2u)) + C = \frac{5}{2} (u + \sinh(u) \cosh(u)) + C$

ここで、$x = \sqrt{5} \sinh(u)$ より、$\sinh(u) = \frac{x}{\sqrt{5}}$、$u = \sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{5}})$

$\cosh(u) = \sqrt{1 + \sinh^2(u)} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{5}} = \sqrt{\frac{5 + x^2}{5}} = \frac{\sqrt{x^2 + 5}}{\sqrt{5}}$

したがって、

$\frac{5}{2} (u + \sinh(u) \cosh(u)) + C = \frac{5}{2} (\sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{5}}) + \frac{x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 5}}{\sqrt{5}}) + C = \frac{5}{2} \sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{5}}) + \frac{x \sqrt{x^2 + 5}}{2} + C$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を用いると、

$\sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{5}}) = \ln(\frac{x}{\sqrt{5}} + \sqrt{\frac{x^2}{5} + 1}) = \ln(\frac{x + \sqrt{x^2 + 5}}{\sqrt{5}})$

$\frac{5}{2} \sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{5}}) + \frac{x \sqrt{x^2 + 5}}{2} + C = \frac{5}{2} \ln(\frac{x + \sqrt{x^2 + 5}}{\sqrt{5}}) + \frac{x \sqrt{x^2 + 5}}{2} + C = \frac{x \sqrt{x^2 + 5}}{2} + \frac{5}{2} \ln(x + \sqrt{x^2 + 5}) + C'$

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{x^2 + 5} \, dx = \frac{x \sqrt{x^2 + 5}}{2} + \frac{5}{2} \ln(x + \sqrt{x^2 + 5}) + C$