与えられたカテナリー曲線 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ の、$-1 \le x \le 1$ の範囲における曲線の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられたカテナリー曲線 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ の、$-1 \le x \le 1$ の範囲における曲線の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、以下の公式を用いて計算します。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} \, dx$

まず、与えられた関数 $y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{e^x - e^{-x}}{2}) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 = 1 + \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4 + e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 6 + e^{-2x}}{4}$

ここで、$e^{2x} + 6 + e^{-2x}$ を $(e^x + e^{-x})^2$ に変形することを考えます。

$(e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$ と $(e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$ であることを利用して式変形します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 = \frac{4 + e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2 + 4}{4} = \frac{(e^x + e^{-x})^2}{4}$.

したがって、$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{\frac{(e^x + e^{-x})^2}{4}} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ となります。

最後に、積分を実行します。積分範囲は $-1 \le x \le 1$ です。

$L = \int_{-1}^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2} \, dx = [\frac{e^x - e^{-x}}{2}]_{-1}^1 = (\frac{e^1 - e^{-1}}{2}) - (\frac{e^{-1} - e^{-(-1)}}{2}) = \frac{e - e^{-1}}{2} - \frac{e^{-1} - e}{2} = \frac{e - e^{-1} - e^{-1} + e}{2} = \frac{2e - 2e^{-1}}{2} = e - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$L = e - \frac{1}{e}$