以下の4つの積分を計算する問題です。 (3) $\int \cos(\frac{\pi}{3}x) dx$ (4) $\int e^{4x+1} dx$ (5) $\int 2^{-x+1} dx$ (6) $\int \sqrt{2x+3} dx$

1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算する問題です。

(3) $\int \cos(\frac{\pi}{3}x) dx$

(4) $\int e^{4x+1} dx$

(5) $\int 2^{-x+1} dx$

(6) $\int \sqrt{2x+3} dx$

2. 解き方の手順

(3) $\int \cos(\frac{\pi}{3}x) dx$

置換積分を行います。$u = \frac{\pi}{3}x$ とおくと、$du = \frac{\pi}{3} dx$ となります。したがって、$dx = \frac{3}{\pi} du$ です。

$\int \cos(u) \frac{3}{\pi} du = \frac{3}{\pi} \int \cos(u) du = \frac{3}{\pi} \sin(u) + C = \frac{3}{\pi} \sin(\frac{\pi}{3}x) + C$

(4) $\int e^{4x+1} dx$

置換積分を行います。$u = 4x+1$ とおくと、$du = 4 dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{4} du$ です。

$\int e^u \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^u + C = \frac{1}{4} e^{4x+1} + C$

(5) $\int 2^{-x+1} dx$

$\int 2^{-x+1} dx = \int 2^{-x} \cdot 2^1 dx = 2 \int 2^{-x} dx$

ここで、$u = -x$ とおくと、$du = -dx$ となります。したがって、$dx = -du$ です。

$2 \int 2^u (-du) = -2 \int 2^u du = -2 \frac{2^u}{\ln 2} + C = -\frac{2 \cdot 2^{-x}}{\ln 2} + C = -\frac{2^{1-x}}{\ln 2} + C$

(6) $\int \sqrt{2x+3} dx$

置換積分を行います。$u = 2x+3$ とおくと、$du = 2 dx$ となります。したがって、$dx = \frac{1}{2} du$ です。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} (2x+3)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{3}{\pi} \sin(\frac{\pi}{3}x) + C$

(4) $\frac{1}{4} e^{4x+1} + C$

(5) $-\frac{2^{1-x}}{\ln 2} + C$

(6) $\frac{1}{3} (2x+3)^{3/2} + C$