定積分 $\int_0^2 \sqrt{x^2+5}\,dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^2 \sqrt{x^2+5}\,dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{x^2+5}$の積分は、双曲線関数を用いた置換積分で計算できます。

$x = \sqrt{5} \sinh t$ と置換します。このとき、$dx = \sqrt{5} \cosh t\, dt$ となります。また、積分区間も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$\sqrt{5} \sinh t = 0$ より $t = 0$

$x = 2$ のとき、$\sqrt{5} \sinh t = 2$ より $\sinh t = \frac{2}{\sqrt{5}}$。 $t = \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})$。

したがって、

$\int_0^2 \sqrt{x^2+5}\,dx = \int_0^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} \sqrt{5\sinh^2 t + 5} \cdot \sqrt{5}\cosh t\, dt$

$= \int_0^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} \sqrt{5(\sinh^2 t + 1)} \cdot \sqrt{5}\cosh t\, dt$

$= \int_0^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} \sqrt{5\cosh^2 t} \cdot \sqrt{5}\cosh t\, dt$

$= \int_0^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} \sqrt{5}\cosh t \cdot \sqrt{5}\cosh t\, dt$

$= 5 \int_0^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} \cosh^2 t\, dt$

ここで、$\cosh^2 t = \frac{1 + \cosh(2t)}{2}$ なので、

$5 \int_0^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} \frac{1 + \cosh(2t)}{2}\, dt$

$= \frac{5}{2} \int_0^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})} (1 + \cosh(2t))\, dt$

$= \frac{5}{2} [t + \frac{1}{2}\sinh(2t)]_0^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})}$

$= \frac{5}{2} [t + \sinh t \cosh t]_0^{\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})}$

$t = \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})$ とすると、$\sinh t = \frac{2}{\sqrt{5}}$。 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ より、 $\cosh t = \sqrt{1 + (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{1 + \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$。

よって、$\frac{5}{2} [\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} - 0]$

$= \frac{5}{2} [\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{6}{5}]$

$= \frac{5}{2} \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) + 3$

$\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ より、

$\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{5}} + \sqrt{\frac{4}{5}+1}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3}{\sqrt{5}}) = \ln(\frac{5}{\sqrt{5}}) = \ln \sqrt{5} = \frac{1}{2} \ln 5$。

したがって、

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}\ln 5 + 3 = \frac{5}{4}\ln 5 + 3$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4}\ln 5 + 3$