定積分 $\int_{1}^{8} \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{8} \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず被積分関数を簡略化します。$\sqrt[3]{x}$ は $x^{\frac{1}{3}}$ と書けるので、

$$\frac{x}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{1 - \frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}}$$

したがって、積分は

$$\int_{1}^{8} x^{\frac{2}{3}} dx$$

となります。

次に、 $x^{\frac{2}{3}}$ の不定積分を計算します。べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ただし $n \neq -1$）を利用すると、

$$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$$

したがって、定積分は

$$\int_{1}^{8} x^{\frac{2}{3}} dx = \left[ \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} \right]_{1}^{8} = \frac{3}{5} (8^{\frac{5}{3}} - 1^{\frac{5}{3}})$$

$8^{\frac{5}{3}}$ は $(8^{\frac{1}{3}})^5 = 2^5 = 32$ と計算できます。

$1^{\frac{5}{3}} = 1$ なので、

$$\frac{3}{5} (8^{\frac{5}{3}} - 1^{\frac{5}{3}}) = \frac{3}{5} (32 - 1) = \frac{3}{5} (31) = \frac{93}{5}$$

3. 最終的な答え

$\frac{93}{5}$