関数 $f(x) = x^3 e^{-x}$ に対して、以下の問いに答える。 (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(-1, f(-1))$ における接線の方程式を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の極値を求める。 (3) 閉区間 $[-1, 4]$ における $f(x)$ の最大値および最小値を求める。
2025/7/9
はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。
1. 問題の内容
関数 に対して、以下の問いに答える。
(1) 曲線 上の点 における接線の方程式を求める。
(2) 関数 の極値を求める。
(3) 閉区間 における の最大値および最小値を求める。
2. 解き方の手順
(1) 接線の方程式を求める。
まず、 を計算する。
次に、 を計算する。積の微分公式を用いる。
次に、 を計算する。
したがって、点 における接線の方程式は、
(2) 関数 の極値を求める。
となる は、 または より、 または である。
の符号の変化を調べる。
のとき、
のとき、
のとき、
したがって、 では極値をとらず、 で極大となる。
極大値は、
(3) 閉区間 における の最大値および最小値を求める。
よって、最大値は 、最小値は である。
3. 最終的な答え
(1) 接線の方程式:
(2) 極大値: で 、極小値なし
(3) 最大値: 、最小値: