関数 $f(x) = x^3 e^{-x}$ に対して、以下の問いに答える。 (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(-1, f(-1))$ における接線の方程式を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の極値を求める。 (3) 閉区間 $[-1, 4]$ における $f(x)$ の最大値および最小値を求める。

解析学微分接線極値最大値最小値
2025/7/9
はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3exf(x) = x^3 e^{-x} に対して、以下の問いに答える。
(1) 曲線 y=f(x)y = f(x) 上の点 (1,f(1))(-1, f(-1)) における接線の方程式を求める。
(2) 関数 f(x)f(x) の極値を求める。
(3) 閉区間 [1,4][-1, 4] における f(x)f(x) の最大値および最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。
まず、f(1)f(-1) を計算する。
f(1)=(1)3e(1)=ef(-1) = (-1)^3 e^{-(-1)} = -e
次に、f(x)f'(x) を計算する。積の微分公式を用いる。
f(x)=(x3)ex+x3(ex)=3x2ex+x3(ex)=3x2exx3ex=(3x2x3)exf'(x) = (x^3)' e^{-x} + x^3 (e^{-x})' = 3x^2 e^{-x} + x^3 (-e^{-x}) = 3x^2 e^{-x} - x^3 e^{-x} = (3x^2 - x^3) e^{-x}
次に、f(1)f'(-1) を計算する。
f(1)=(3(1)2(1)3)e(1)=(3+1)e=4ef'(-1) = (3(-1)^2 - (-1)^3) e^{-(-1)} = (3 + 1) e = 4e
したがって、点 (1,e)(-1, -e) における接線の方程式は、
y(e)=4e(x(1))y - (-e) = 4e (x - (-1))
y+e=4e(x+1)y + e = 4e (x + 1)
y=4ex+4eey = 4ex + 4e - e
y=4ex+3ey = 4ex + 3e
(2) 関数 f(x)f(x) の極値を求める。
f(x)=(3x2x3)ex=x2(3x)exf'(x) = (3x^2 - x^3) e^{-x} = x^2 (3 - x) e^{-x}
f(x)=0f'(x) = 0 となる xx は、x2=0x^2 = 0 または 3x=03 - x = 0 より、x=0x = 0 または x=3x = 3 である。
f(x)f'(x) の符号の変化を調べる。
x<0x < 0 のとき、f(x)>0f'(x) > 0
0<x<30 < x < 3 のとき、f(x)>0f'(x) > 0
x>3x > 3 のとき、f(x)<0f'(x) < 0
したがって、x=0x = 0 では極値をとらず、x=3x = 3 で極大となる。
極大値は、f(3)=33e3=27e3=27e3f(3) = 3^3 e^{-3} = 27e^{-3} = \frac{27}{e^3}
(3) 閉区間 [1,4][-1, 4] における f(x)f(x) の最大値および最小値を求める。
f(1)=e2.718f(-1) = -e \approx -2.718
f(0)=03e0=0f(0) = 0^3 e^{-0} = 0
f(3)=27e31.344f(3) = \frac{27}{e^3} \approx 1.344
f(4)=43e4=64e4=64e41.172f(4) = 4^3 e^{-4} = 64 e^{-4} = \frac{64}{e^4} \approx 1.172
よって、最大値は f(3)=27e3f(3) = \frac{27}{e^3}、最小値は f(1)=ef(-1) = -e である。

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: y=4ex+3ey = 4ex + 3e
(2) 極大値: x=3x = 3f(3)=27e3f(3) = \frac{27}{e^3}、極小値なし
(3) 最大値: f(3)=27e3f(3) = \frac{27}{e^3}、最小値: f(1)=ef(-1) = -e

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