関数 $f(x) = x^3 e^{-x}$ に対して、以下の問いに答える。 (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(-1, f(-1))$ における接線の方程式を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の極値を求める。 (3) 閉区間 $[-1, 4]$ における $f(x)$ の最大値および最小値を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 e^{-x}$ に対して、以下の問いに答える。

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(-1, f(-1))$ における接線の方程式を求める。

(2) 関数 $f(x)$ の極値を求める。

(3) 閉区間 $[-1, 4]$ における $f(x)$ の最大値および最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。

まず、$f(-1)$ を計算する。

$f(-1) = (-1)^3 e^{-(-1)} = -e$

次に、$f'(x)$ を計算する。積の微分公式を用いる。

$f'(x) = (x^3)' e^{-x} + x^3 (e^{-x})' = 3x^2 e^{-x} + x^3 (-e^{-x}) = 3x^2 e^{-x} - x^3 e^{-x} = (3x^2 - x^3) e^{-x}$

次に、$f'(-1)$ を計算する。

$f'(-1) = (3(-1)^2 - (-1)^3) e^{-(-1)} = (3 + 1) e = 4e$

したがって、点 $(-1, -e)$ における接線の方程式は、

$y - (-e) = 4e (x - (-1))$

$y + e = 4e (x + 1)$

$y = 4ex + 4e - e$

$y = 4ex + 3e$

(2) 関数 $f(x)$ の極値を求める。

$f'(x) = (3x^2 - x^3) e^{-x} = x^2 (3 - x) e^{-x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$x^2 = 0$ または $3 - x = 0$ より、$x = 0$ または $x = 3$ である。

$f'(x)$ の符号の変化を調べる。

$x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

$0 < x < 3$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 3$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = 0$ では極値をとらず、$x = 3$ で極大となる。

極大値は、$f(3) = 3^3 e^{-3} = 27e^{-3} = \frac{27}{e^3}$

(3) 閉区間 $[-1, 4]$ における $f(x)$ の最大値および最小値を求める。

$f(-1) = -e \approx -2.718$

$f(0) = 0^3 e^{-0} = 0$

$f(3) = \frac{27}{e^3} \approx 1.344$

$f(4) = 4^3 e^{-4} = 64 e^{-4} = \frac{64}{e^4} \approx 1.172$

よって、最大値は $f(3) = \frac{27}{e^3}$、最小値は $f(-1) = -e$ である。

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $y = 4ex + 3e$

(2) 極大値: $x = 3$ で $f(3) = \frac{27}{e^3}$、極小値なし

(3) 最大値: $f(3) = \frac{27}{e^3}$、最小値: $f(-1) = -e$