定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分区間 $[0,4]$ で $f(x)=(x-4)(x-1)^3$ の符号を調べます。

- $0 \leq x < 1$ のとき、$x-4 < 0$ であり、$x-1 < 0$ なので、$(x-1)^3 < 0$。したがって、$f(x) = (x-4)(x-1)^3 > 0$。

- $1 < x < 4$ のとき、$x-4 < 0$ であり、$x-1 > 0$ なので、$(x-1)^3 > 0$。したがって、$f(x) = (x-4)(x-1)^3 < 0$。

- $x=1$ および $x=4$ で $f(x)=0$。

よって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx = \int_{0}^{1} (x-4)(x-1)^3 dx + \int_{1}^{4} -(x-4)(x-1)^3 dx$

ここで、$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ なので、

$(x-4)(x-1)^3 = (x-4)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x - 4x^3 + 12x^2 - 12x + 4 = x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 13x + 4$

$\int_{0}^{1} (x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 13x + 4) dx = [\frac{x^5}{5} - \frac{7x^4}{4} + \frac{15x^3}{3} - \frac{13x^2}{2} + 4x]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - \frac{7}{4} + 5 - \frac{13}{2} + 4 = \frac{4-35+100-130+80}{20} = \frac{19}{20}$

$\int_{1}^{4} (x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 13x + 4) dx = [\frac{x^5}{5} - \frac{7x^4}{4} + \frac{15x^3}{3} - \frac{13x^2}{2} + 4x]_{1}^{4} = [\frac{x^5}{5} - \frac{7x^4}{4} + 5x^3 - \frac{13x^2}{2} + 4x]_{1}^{4} = (\frac{1024}{5} - \frac{7(256)}{4} + 5(64) - \frac{13(16)}{2} + 4(4)) - (\frac{1}{5} - \frac{7}{4} + 5 - \frac{13}{2} + 4) = (\frac{1024}{5} - 448 + 320 - 104 + 16) - (\frac{1}{5} - \frac{7}{4} + 5 - \frac{13}{2} + 4) = (\frac{1024}{5} - 216) - (\frac{1}{5} - \frac{7}{4} + 9 - \frac{13}{2}) = \frac{1023}{5} - 216 - 9 + \frac{7}{4} + \frac{13}{2} = \frac{4092 - 4320 - 1800 + 35 + 130}{20} = \frac{-2063}{20}$

$\int_{1}^{4} -(x-4)(x-1)^3 dx = -\int_{1}^{4} (x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 13x + 4) dx = -(\frac{-2063}{20}) = \frac{2063}{20}$

したがって、$\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx = \frac{19}{20} + \frac{2063}{20} = \frac{2082}{20} = \frac{1041}{10} = 104.1$

3. 最終的な答え

104.1