問題は、$x > 0$ を定義域とする関数 $f(x)$ が等式 $f(x) = \int_1^e \log(xt) f(t) dt + x$ を満たすとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $\int_1^e \log x dx$ を求めよ。 (2) $\int_1^e (\log x)^2 dx$ を求めよ。 (3) $\int_1^e x \log x dx$ を求めよ。 (4) $f(x)$ を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、$x > 0$ を定義域とする関数 $f(x)$ が等式

$f(x) = \int_1^e \log(xt) f(t) dt + x$

を満たすとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $\int_1^e \log x dx$ を求めよ。

(2) $\int_1^e (\log x)^2 dx$ を求めよ。

(3) $\int_1^e x \log x dx$ を求めよ。

(4) $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^e \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int_1^e \log x dx = [x \log x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} dx = [x \log x]_1^e - \int_1^e 1 dx = [x \log x - x]_1^e$

$= (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1) = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$

(2) $\int_1^e (\log x)^2 dx$

部分積分を行います。$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とすると、$du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int_1^e (\log x)^2 dx = [x (\log x)^2]_1^e - \int_1^e x \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx = [x (\log x)^2]_1^e - 2 \int_1^e \log x dx$

$= (e (\log e)^2 - 1 (\log 1)^2) - 2 \int_1^e \log x dx = (e \cdot 1^2 - 1 \cdot 0^2) - 2 \cdot 1 = e - 2$

(3) $\int_1^e x \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2} x^2$ となります。

$\int_1^e x \log x dx = [\frac{1}{2} x^2 \log x]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{1}{2} x^2 \log x]_1^e - \frac{1}{2} \int_1^e x dx$

$= (\frac{1}{2} e^2 \log e - \frac{1}{2} 1^2 \log 1) - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} x^2]_1^e = (\frac{1}{2} e^2 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0) - \frac{1}{4} (e^2 - 1) = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{4} e^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} e^2 + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$

(4) $f(x) = \int_1^e \log(xt) f(t) dt + x$

$f(x) = \int_1^e (\log x + \log t) f(t) dt + x = \int_1^e \log x \cdot f(t) dt + \int_1^e \log t \cdot f(t) dt + x = \log x \int_1^e f(t) dt + \int_1^e \log t \cdot f(t) dt + x$

ここで、$A = \int_1^e f(t) dt$、$B = \int_1^e \log t \cdot f(t) dt$ とおくと、$f(x) = A \log x + B + x$

これを元の式に代入します。

$A = \int_1^e f(x) dx = \int_1^e (A \log x + B + x) dx = A \int_1^e \log x dx + B \int_1^e dx + \int_1^e x dx$

$A = A \cdot 1 + B (e-1) + \frac{1}{2} (e^2 - 1)$

$0 = B(e-1) + \frac{1}{2} (e^2 - 1)$

$B(e-1) = - \frac{1}{2} (e^2 - 1) = - \frac{1}{2} (e-1)(e+1)$

$B = - \frac{e+1}{2}$

$B = \int_1^e \log x f(x) dx = \int_1^e \log x (A \log x + B + x) dx = A \int_1^e (\log x)^2 dx + B \int_1^e \log x dx + \int_1^e x \log x dx$

$B = A(e-2) + B \cdot 1 + \frac{e^2+1}{4}$

$0 = A(e-2) + \frac{e^2+1}{4}$

$A = - \frac{e^2+1}{4(e-2)}$

したがって、$f(x) = - \frac{e^2+1}{4(e-2)} \log x - \frac{e+1}{2} + x$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $e-2$

(3) $\frac{e^2+1}{4}$

(4) $f(x) = - \frac{e^2+1}{4(e-2)} \log x - \frac{e+1}{2} + x$