与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ を微分し、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k=0,1,2$) を求め、2次までの $x=0$ でのテイラー展開を剰余項 $R_3$ で表します。剰余項を具体的に求める必要はありません。

はい、承知いたしました。問題文の指示に従って、関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ について、以下の手順で問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ を微分し、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k=0,1,2$) を求め、2次までの $x=0$ でのテイラー展開を剰余項 $R_3$ で表します。剰余項を具体的に求める必要はありません。

2. 解き方の手順

(1) 微分を計算します。

$f(x) = (1+x)^{-2}$

$f'(x) = -2(1+x)^{-3} = \frac{-2}{(1+x)^3}$

$f''(x) = (-2)(-3)(1+x)^{-4} = 6(1+x)^{-4} = \frac{6}{(1+x)^4}$

(2) $x=0$ での微分係数を計算します。

$f(0) = (1+0)^{-2} = 1$

$f'(0) = -2(1+0)^{-3} = -2$

$f''(0) = 6(1+0)^{-4} = 6$

(3) 2次までのテイラー展開を求めます。

テイラー展開の公式は、次の通りです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

それぞれの値を代入すると、

$f(x) = 1 + (-2)x + \frac{6}{2}x^2 + R_3$

$f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

3. 最終的な答え

2次までのテイラー展開は、次のようになります。

$1 - 2x + 3x^2 + R_3$

$f(0)=1$

$f'(0)=-2$

$f''(0)=6$