画像には、いくつかの関数 $f(x)$ が与えられており、それぞれの関数に対して、いくつかの導関数 $f^{(n)}(x)$ が計算されています。また、$f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ などの値が計算され、それらを用いて $f(x)$ の近似式 (例えば、テイラー展開) が求められています。 各問題は、与えられた関数からテイラー展開を求めるという形式です。

1. 問題の内容

画像には、いくつかの関数 $f(x)$ が与えられており、それぞれの関数に対して、いくつかの導関数 $f^{(n)}(x)$ が計算されています。また、$f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ などの値が計算され、それらを用いて $f(x)$ の近似式 (例えば、テイラー展開) が求められています。 各問題は、与えられた関数からテイラー展開を求めるという形式です。

2. 解き方の手順

各問題に対して、以下の手順で解きます。

* 与えられた関数 $f(x)$ とその導関数 $f^{(n)}(x)$ を確認します。

* $x=0$ における導関数の値 $f^{(n)}(0)$ を確認します。

* テイラー展開の公式を用いて、$f(x)$ を近似する多項式を求めます。テイラー展開の公式は次のとおりです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

* 問題文に書かれた $R_3$ は、恐らく3次以上の項を表す剰余項を表していると考えられます。つまり、テイラー展開を2次の項までで打ち切って近似しています。

各問題において、上記のステップを踏むことで、与えられた関数に対する近似式を求めることができます。

例として、6番の問題を解いてみます。

* $f(x) = \log(1+x)$, $f'(x) = \frac{1}{1+x}$, $f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

* $f(0) = \log(1+0) = 0$, $f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$, $f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

* テイラー展開は次のようになります。

$f(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + R_3 = x - \frac{x^2}{2} + R_3$

画像に書かれている答え $f(x) = x - \frac{x^2}{2} + R_3$ と一致します。

3. 最終的な答え

画像に書かれている内容を以下にまとめます。

1. $f(x) = 1 - x + x^2 + R_3$

2. $f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

3. $f(x) = 1 - x^2 + R_3$

4. $f(x) = x^2 + R_3$

5. $f(x) = 2x + R_3$

6. $f(x) = x - \frac{x^2}{2} + R_3$

7. $f(x) = x + \frac{x^2}{2} + R_3$

8. $f(x) = x + x^2 + R_3$