関数 $f(x, y) = \sin^{-1}(\frac{y}{x})$ の全微分 $df(x, y)$ を求め、 $df(x, y) = (\text{何らかの式})dx + (\text{何らかの式})dy$ の形式で表す。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \sin^{-1}(\frac{y}{x})$ の全微分 $df(x, y)$ を求め、 $df(x, y) = (\text{何らかの式})dx + (\text{何らかの式})dy$ の形式で表す。

2. 解き方の手順

全微分は以下の式で与えられます。

$df(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$

まず、 $f(x, y)$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sin^{-1}(\frac{y}{x})$

$\frac{d}{du} \sin^{-1}(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$ であることを利用します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{y}{x})$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}}} \cdot (-\frac{y}{x^2})$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 - y^2}{x^2}}} \cdot (-\frac{y}{x^2})$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot (-\frac{y}{x^2})$

$x > 0$と仮定すると$|x|=x$なので、

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot (-\frac{y}{x^2})$

$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{y}{x\sqrt{x^2 - y^2}}$

次に、$f(x, y)$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sin^{-1}(\frac{y}{x})$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{x})$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{y^2}{x^2}}} \cdot (\frac{1}{x})$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 - y^2}{x^2}}} \cdot (\frac{1}{x})$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot (\frac{1}{x})$

$x > 0$と仮定すると$|x|=x$なので、

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot (\frac{1}{x})$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - y^2}}$

したがって、全微分は次のようになります。

$df(x, y) = -\frac{y}{x\sqrt{x^2 - y^2}}dx + \frac{1}{\sqrt{x^2 - y^2}}dy$

3. 最終的な答え

$df(x, y) = -\frac{y}{x\sqrt{x^2 - y^2}}dx + \frac{1}{\sqrt{x^2 - y^2}}dy$