$p$を定数とする。2つの関数$f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$があり、$f(p) = g'(\frac{1}{2})$を満たしている。また、$y = f(x)$のグラフを$C_1$、$y = g(x)$のグラフを$C_2$とする。 (1) $p$の値を求める。 (2) $C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、直線$x = p$の右側の部分の面積を$S$とする。$S$を求める。 (3) $t$は$\frac{3}{2} < t < p$を満たす定数とする。$C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、直線$x = t$の左側の部分の面積を$T$とする。$T$を$t$を用いて表せ。また、(2)の$S$に対し、$T = 2S$を満たす$t$の値は、$\frac{3}{2} < t < p$においてただ1つ存在することを示す。

1. 問題の内容

$p$を定数とする。2つの関数$f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$があり、$f(p) = g'(\frac{1}{2})$を満たしている。また、$y = f(x)$のグラフを$C_1$、$y = g(x)$のグラフを$C_2$とする。

(1) $p$の値を求める。

(2) $C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、直線$x = p$の右側の部分の面積を$S$とする。$S$を求める。

(3) $t$は$\frac{3}{2} < t < p$を満たす定数とする。$C_1$と$C_2$で囲まれた部分のうち、直線$x = t$の左側の部分の面積を$T$とする。$T$を$t$を用いて表せ。また、(2)の$S$に対し、$T = 2S$を満たす$t$の値は、$\frac{3}{2} < t < p$においてただ1つ存在することを示す。

2. 解き方の手順

(1) まず、$g'(x)$を求める。

$g'(x) = -\frac{1}{2}(2x) + \frac{5}{2} = -x + \frac{5}{2}$

$g'(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、$f(p) = 2$となる$p$を求める。

$f(p) = p^2 - 2p = 2$

$p^2 - 2p - 2 = 0$

$p = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

ここで問題文より、$p$は定数であるから、$p = 1 + \sqrt{3}$.

(2) $C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求める。

$f(x) = g(x)$より

$x^2 - 2x = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$

$\frac{3}{2}x^2 - \frac{9}{2}x = 0$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

$p = 1 + \sqrt{3}$なので、$p < 3$である。

$S = \int_{1+\sqrt{3}}^{3} (g(x) - f(x)) dx$

$g(x) - f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x - (x^2 - 2x) = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x$

$S = \int_{1+\sqrt{3}}^{3} (-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x) dx = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_{1+\sqrt{3}}^{3}$

$= (-\frac{27}{2} + \frac{81}{4}) - (-\frac{1}{2}(1+\sqrt{3})^3 + \frac{9}{4}(1+\sqrt{3})^2)$

$= \frac{27}{4} - (-\frac{1}{2}(1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3}) + \frac{9}{4}(1+2\sqrt{3}+3))$

$= \frac{27}{4} - (-\frac{1}{2}(10+6\sqrt{3}) + \frac{9}{4}(4+2\sqrt{3}))$

$= \frac{27}{4} - (-5-3\sqrt{3} + 9+\frac{9}{2}\sqrt{3})$

$= \frac{27}{4} - (4 + \frac{3}{2}\sqrt{3}) = \frac{27}{4} - 4 - \frac{3}{2}\sqrt{3} = \frac{11}{4} - \frac{3}{2}\sqrt{3}$

(3)

$T = \int_{t}^{3} (g(x) - f(x)) dx = \int_{t}^{3} (-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x) dx = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_{0}^{t} = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_{t}^{3}$

$= (-\frac{27}{2} + \frac{81}{4}) - (-\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2) = \frac{27}{4} + \frac{1}{2}t^3 - \frac{9}{4}t^2$

$T = 2S$より

$\frac{27}{4} + \frac{1}{2}t^3 - \frac{9}{4}t^2 = 2(\frac{11}{4} - \frac{3}{2}\sqrt{3})$

$\frac{27}{4} + \frac{1}{2}t^3 - \frac{9}{4}t^2 = \frac{22}{4} - 3\sqrt{3}$

$\frac{1}{2}t^3 - \frac{9}{4}t^2 + \frac{5}{4} + 3\sqrt{3} = 0$

$2t^3 - 9t^2 + 5 + 12\sqrt{3} = 0$

$F(t) = 2t^3 - 9t^2 + 5 + 12\sqrt{3}$

$\frac{3}{2} < t < 1 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $p = 1 + \sqrt{3}$

(2) $S = \frac{11}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3) $T = \frac{1}{2}t^3 - \frac{9}{4}t^2 + \frac{27}{4}$

$2t^3 - 9t^2 + 5 + 12\sqrt{3} = 0$を満たす$t$が$\frac{3}{2} < t < 1+\sqrt{3}$においてただ一つ存在することを示す必要がある。