次の不定積分を求めよ。 (1) $\int 3x^2 \sqrt{x^3-1} dx$ (2) $\int \cos^3x \sin x dx$ (3) $\int xe^{x^2} dx$ (4) $\int \frac{\log x}{x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

(1) $\int 3x^2 \sqrt{x^3-1} dx$

(2) $\int \cos^3x \sin x dx$

(3) $\int xe^{x^2} dx$

(4) $\int \frac{\log x}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $t = x^3 - 1$ と置換すると、$dt = 3x^2 dx$ となる。よって、

$\int 3x^2 \sqrt{x^3 - 1} dx = \int \sqrt{t} dt = \int t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} (x^3 - 1)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$ となる。よって、

$\int \cos^3x \sin x dx = \int t^3 (-dt) = -\int t^3 dt = -\frac{1}{4} t^4 + C = -\frac{1}{4} \cos^4 x + C$

(3) $t = x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ となる。よって、$xdx = \frac{1}{2}dt$

$\int xe^{x^2} dx = \int e^t \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int e^t dt = \frac{1}{2} e^t + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

(4) $t = \log x$ と置換すると、$dt = \frac{1}{x} dx$ となる。よって、

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int t dt = \frac{1}{2} t^2 + C = \frac{1}{2} (\log x)^2 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} (x^3 - 1)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $-\frac{1}{4} \cos^4 x + C$

(3) $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

(4) $\frac{1}{2} (\log x)^2 + C$