問題1では、与えられた6つの関数をそれぞれ微分する必要があります。 問題2では、問題1で微分した関数について、$x=2$ の時の微分係数を求めます。ただし、ネイピア数 $e$ を含む微分係数は、$e=2.71828$ として計算し、小数第5位を四捨五入して小数第4位まで求めます。

1. 問題の内容

問題1では、与えられた6つの関数をそれぞれ微分する必要があります。

問題2では、問題1で微分した関数について、$x=2$ の時の微分係数を求めます。ただし、ネイピア数 $e$ を含む微分係数は、$e=2.71828$ として計算し、小数第5位を四捨五入して小数第4位まで求めます。

2. 解き方の手順

問題1：関数の微分

(1) $f(x) = x^4 - 4x^3 + 8x^2 + 5x - 9$

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 16x + 5$

(2) $f(x) = 3x^5 - 5x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 3x - 2$

$f'(x) = 15x^4 - 20x^3 + 6x^2 + 12x + 3$

(3) $f(x) = x^{19} - x^{10} + 8x^5 + x + 15$

$f'(x) = 19x^{18} - 10x^9 + 40x^4 + 1$

(4) $f(x) = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$

$f'(x) = 8x - 4$

(5) $f(x) = (5x + 2)^2 - (x + 5)^2 + 78 = (25x^2 + 20x + 4) - (x^2 + 10x + 25) + 78 = 24x^2 + 10x + 57$

$f'(x) = 48x + 10$

(6) $f(x) = e^2x^5 - e^4x^3 + 3$

$f'(x) = 5e^2x^4 - 3e^4x^2$

問題2：微分係数の計算

$x=2$ を代入して計算します。

(1) $f'(2) = 4(2)^3 - 12(2)^2 + 16(2) + 5 = 32 - 48 + 32 + 5 = 21$

(2) $f'(2) = 15(2)^4 - 20(2)^3 + 6(2)^2 + 12(2) + 3 = 240 - 160 + 24 + 24 + 3 = 131$

(3) $f'(2) = 19(2)^{18} - 10(2)^9 + 40(2)^4 + 1 = 19(262144) - 10(512) + 40(16) + 1 = 4980736 - 5120 + 640 + 1 = 4976257$

(4) $f'(2) = 8(2) - 4 = 16 - 4 = 12$

(5) $f'(2) = 48(2) + 10 = 96 + 10 = 106$

(6) $f'(2) = 5e^2(2)^4 - 3e^4(2)^2 = 80e^2 - 12e^4$

$e \approx 2.71828$ を代入すると、$f'(2) = 80(2.71828)^2 - 12(2.71828)^4 \approx 80(7.38905) - 12(54.5981) \approx 591.124 - 655.1772 \approx -64.0532$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 16x + 5$

(2) $f'(x) = 15x^4 - 20x^3 + 6x^2 + 12x + 3$

(3) $f'(x) = 19x^{18} - 10x^9 + 40x^4 + 1$

(4) $f'(x) = 8x - 4$

(5) $f'(x) = 48x + 10$

(6) $f'(x) = 5e^2x^4 - 3e^4x^2$

問題2:

(1) $f'(2) = 21$

(2) $f'(2) = 131$

(3) $f'(2) = 4976257$

(4) $f'(2) = 12$

(5) $f'(2) = 106$

(6) $f'(2) = -64.0532$