与えられた問題は以下の4つです。 (1) $z = f(ax+by)$ （$a,b$は定数）のとき、$b\frac{\partial z}{\partial x} = a\frac{\partial z}{\partial y}$を証明する。 (2) $u = e^{x^2+y^2+z^2}$, $z = x^2\sin y$のとき、$\frac{\partial u}{\partial x}$と$\frac{\partial u}{\partial y}$を$x,y$で表す。 (3) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$のとき、$\frac{dz}{dt}$を$t$で表す。 (4) 関数$f(x,y) = x^2 + y^2 = 1$で定まる陰関数の導関数$\frac{dy}{dx}$を求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の4つです。

(1) $z = f(ax+by)$ （$a,b$は定数）のとき、$b\frac{\partial z}{\partial x} = a\frac{\partial z}{\partial y}$を証明する。

(2) $u = e^{x^2+y^2+z^2}$, $z = x^2\sin y$のとき、$\frac{\partial u}{\partial x}$と$\frac{\partial u}{\partial y}$を$x,y$で表す。

(3) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$のとき、$\frac{dz}{dt}$を$t$で表す。

(4) 関数$f(x,y) = x^2 + y^2 = 1$で定まる陰関数の導関数$\frac{dy}{dx}$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $z = f(ax+by)$とおく。$ax+by = w$とすると、$z = f(w)$である。連鎖律より、

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{dw}\frac{\partial w}{\partial x} = f'(w) \cdot a = a f'(ax+by)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{dz}{dw}\frac{\partial w}{\partial y} = f'(w) \cdot b = b f'(ax+by)$

したがって、

$b\frac{\partial z}{\partial x} = b a f'(ax+by)$

$a\frac{\partial z}{\partial y} = a b f'(ax+by)$

よって、$b\frac{\partial z}{\partial x} = a\frac{\partial z}{\partial y}$が成り立つ。

(2) $u = e^{x^2+y^2+z^2}$, $z = x^2\sin y$とおく。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial (x^2+y^2+z^2)} \frac{\partial (x^2+y^2+z^2)}{\partial x} = e^{x^2+y^2+z^2} \cdot (2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x})$

ここで、$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \sin y$だから、

$\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2+y^2+z^2} (2x + 2x^2\sin y \cdot 2x\sin y) = 2e^{x^2+y^2+z^2}(x + 2x^3 \sin^2 y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial (x^2+y^2+z^2)} \frac{\partial (x^2+y^2+z^2)}{\partial y} = e^{x^2+y^2+z^2} \cdot (2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y})$

ここで、$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 \cos y$だから、

$\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x^2+y^2+z^2} (2y + 2x^2\sin y \cdot x^2\cos y) = 2e^{x^2+y^2+z^2}(y + x^4\sin y \cos y)$

(3) $z = uv + \sin t$, $u = e^t$, $v = \cos t$とおく。

$\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(uv) + \frac{d}{dt}(\sin t) = \frac{du}{dt}v + u\frac{dv}{dt} + \cos t$

$\frac{du}{dt} = e^t$、$\frac{dv}{dt} = -\sin t$より、

$\frac{dz}{dt} = e^t \cos t + e^t (-\sin t) + \cos t = e^t(\cos t - \sin t) + \cos t$

(4) $f(x,y) = x^2 + y^2 = 1$とおく。

両辺を$x$で微分すると、

$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

よって、$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$

3. 最終的な答え

(1) $b\frac{\partial z}{\partial x} = a\frac{\partial z}{\partial y}$

(2) $\frac{\partial u}{\partial x} = 2e^{x^2+y^2+(x^2\sin y)^2}(x + 2x^3 \sin^2 y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 2e^{x^2+y^2+(x^2\sin y)^2}(y + x^4\sin y \cos y)$

(3) $\frac{dz}{dt} = e^t(\cos t - \sin t) + \cos t$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$