関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta$ が与えられています。 (1) 2倍角の公式を用いて $\sin \theta \cos \theta$ と $\cos^2 \theta$ を計算します。 (2) $f(\theta)$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ を用いて表し、さらに $r\cos(2\theta + \alpha)$ の形に変形します。 (3) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で、 $f(\theta)$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta$ が与えられています。

(1) 2倍角の公式を用いて $\sin \theta \cos \theta$ と $\cos^2 \theta$ を計算します。

(2) $f(\theta)$ を $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ を用いて表し、さらに $r\cos(2\theta + \alpha)$ の形に変形します。

(3) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で、 $f(\theta)$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2倍角の公式より、

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ なので、$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$。

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ なので、$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$。

よって、アは$\frac{1}{2} \sin 2\theta$ (②), イは $\frac{1+\cos 2\theta}{2}$ (⑤)。

(2) $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1+\cos 2\theta}{2} - \sin 2\theta = \sqrt{3} + \sqrt{3}\cos 2\theta - \sin 2\theta$

$f(\theta) = \sqrt{3} \cos 2\theta - \sin 2\theta + \sqrt{3}$

よって、ウは $\sqrt{3}$, エは $\sqrt{3}$.

$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt{3} \cos 2\theta - \sin 2\theta = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \right)$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は、 $\alpha = \frac{\pi}{6}$。

$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \right) = 2(\cos 2\theta \cos \alpha - \sin 2\theta \sin \alpha) = 2 \cos (2\theta + \alpha)$

$f(\theta) = 2 \cos \left( 2\theta + \frac{\pi}{6} \right) + \sqrt{3}$

よって、オは2, カは

6.

(3) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、 $0 \le 2\theta \le \pi$ であり、 $\frac{\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{6} \le \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

$f(\theta)$ が最大値を取るのは、$2\theta + \frac{\pi}{6} = 0$ つまり $\theta = - \frac{\pi}{12}$ のときだが、これは範囲外。

$2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ のとき $2\theta = 0$ より $\theta = 0$.

このとき、 $f(\theta) = 2\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) + \sqrt{3} = 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

$f(\theta)$ が最小値を取るのは、$2\theta + \frac{\pi}{6} = \pi$ つまり $\theta = \frac{5\pi}{12}$ のとき。

$f(\theta) = 2\cos \left( \pi \right) + \sqrt{3} = -2 + \sqrt{3}$.

よって、キは0, クは$2\sqrt{3}$, ケは2, コは5, サは2, シは

0.

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: ⑤

ウ: $\sqrt{3}$

エ: $\sqrt{3}$

オ: 2

カ: 6

キ: 0

ク: $2\sqrt{3}$

ケ: 2

コ: ⑤

サ: 2

シ: 0