媒介変数 $t$ を用いて、$x(t) = 3\cos t + 2\cos\frac{3}{2}t$、$y(t) = 3\sin t - 2\sin\frac{3}{2}t$ と表される曲線 $C$ について、$t=\frac{\pi}{3}$ に対応する点における曲線 $C$ の接線を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x(t) = 3\cos t + 2\cos\frac{3}{2}t$、$y(t) = 3\sin t - 2\sin\frac{3}{2}t$ と表される曲線 $C$ について、$t=\frac{\pi}{3}$ に対応する点における曲線 $C$ の接線を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t=\frac{\pi}{3}$ のときの $x$ と $y$ の値を求める。

$x(\frac{\pi}{3}) = 3\cos\frac{\pi}{3} + 2\cos(\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3}) = 3\cos\frac{\pi}{3} + 2\cos\frac{\pi}{2} = 3\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot 0 = \frac{3}{2}$

$y(\frac{\pi}{3}) = 3\sin\frac{\pi}{3} - 2\sin(\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3}) = 3\sin\frac{\pi}{3} - 2\sin\frac{\pi}{2} = 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2$

次に、$x'(t)$ と $y'(t)$ を求める。

$x'(t) = -3\sin t - 3\sin\frac{3}{2}t$

$y'(t) = 3\cos t - 3\cos\frac{3}{2}t$

$t=\frac{\pi}{3}$ のときの $x'(t)$ と $y'(t)$ の値を求める。

$x'(\frac{\pi}{3}) = -3\sin\frac{\pi}{3} - 3\sin\frac{\pi}{2} = -3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 3\cdot 1 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - 3$

$y'(\frac{\pi}{3}) = 3\cos\frac{\pi}{3} - 3\cos\frac{\pi}{2} = 3\cdot\frac{1}{2} - 3\cdot 0 = \frac{3}{2}$

接線の傾き $m$ は $m = \frac{y'(\frac{\pi}{3})}{x'(\frac{\pi}{3})}$ で与えられる。

$m = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3\sqrt{3}}{2} - 3} = \frac{3}{-3\sqrt{3}-6} = \frac{1}{-\sqrt{3}-2} = \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = \frac{-(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{-2+\sqrt{3}}{4-3} = -2+\sqrt{3}$

接線の方程式は、$y - y(\frac{\pi}{3}) = m(x - x(\frac{\pi}{3}))$ で与えられる。

$y - (\frac{3\sqrt{3}}{2} - 2) = (-2+\sqrt{3})(x - \frac{3}{2})$

$y - \frac{3\sqrt{3}}{2} + 2 = (-2+\sqrt{3})x - \frac{3}{2}(-2+\sqrt{3})$

$y - \frac{3\sqrt{3}}{2} + 2 = (-2+\sqrt{3})x + 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$y = (-2+\sqrt{3})x + 1$

3. 最終的な答え

$y = (-2+\sqrt{3})x + 1$