次の極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$ (2) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x + \sqrt{x} - 6}$ (3) $\lim_{x \to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9}$ (4) $\lim_{x \to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{\log x}$

1. 問題の内容

次の極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$

(2) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x + \sqrt{x} - 6}$

(3) $\lim_{x \to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9}$

(4) $\lim_{x \to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{\log x}$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}} = \frac{5}{2}$

(2) 分子を因数分解します。

$x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$

分母を因数分解します。$t = \sqrt{x}$ とおくと、$x = t^2$ なので

$x + \sqrt{x} - 6 = t^2 + t - 6 = (t + 3)(t - 2) = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)$

$x \to 4$ のとき $\sqrt{x} \to 2$ なので、

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x + \sqrt{x} - 6} = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 1)(x - 4)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)}$

ここで、$\sqrt{x} - 2 = \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}$ を使うと

$\lim_{x \to 4} \frac{(x - 1)(x - 4)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 1)(x - 4)}{(\sqrt{x} + 3)\frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2}} = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 1)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(4 - 1)(2 + 2)}{2 + 3} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}$

(3) ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9}$

$x \to 3$ のとき、分子は $2^3 - 8 = 0$ に、分母は $3^2 - 9 = 0$ になるので、不定形です。

分子と分母を微分します。

$\frac{d}{dx}(2^x - 8) = 2^x \log 2$

$\frac{d}{dx}(x^2 - 9) = 2x$

よって、$\lim_{x \to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{2^x \log 2}{2x} = \frac{2^3 \log 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 \log 2}{6} = \frac{4 \log 2}{3}$

(4) $y = (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$ とおくと、$\log y = \frac{3}{x^2} \log (5 - 4\cos x)$

$\lim_{x \to 0} \log y = \lim_{x \to 0} \frac{3\log(5 - 4\cos x)}{x^2}$

$x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ なので、分子は $3\log(5 - 4) = 3\log 1 = 0$ に、分母は $0$ になるので、不定形です。

ロピタルの定理を使います。

$\frac{d}{dx} (3\log(5 - 4\cos x)) = 3 \frac{4\sin x}{5 - 4\cos x}$

$\frac{d}{dx} (x^2) = 2x$

$\lim_{x \to 0} \frac{3\log(5 - 4\cos x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{12\sin x}{5 - 4\cos x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{6\sin x}{x(5 - 4\cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{6}{5 - 4\cos x} = 1 \cdot \frac{6}{5 - 4} = 6$

$\lim_{x \to 0} \log y = 6$ なので、$\lim_{x \to 0} y = e^6$

(5) $-1 \le \sin x \le 1$ なので、

$-\frac{1}{\log x} \le \frac{\sin x}{\log x} \le \frac{1}{\log x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log x} = 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{\log x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $\frac{12}{5}$

(3) $\frac{4 \log 2}{3}$

(4) $e^6$

(5) $0$