以下の4つの関数を微分する問題です。4)では $a$ は定数です。 1) $(3x-1)^5$ 2) $\sin(2x^2+1)$ 3) $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 4) $(e^x+a)^2$

1. 問題の内容

以下の4つの関数を微分する問題です。4)では $a$ は定数です。

1) $(3x-1)^5$

2) $\sin(2x^2+1)$

3) $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

4) $(e^x+a)^2$

2. 解き方の手順

1) $(3x-1)^5$ の微分

合成関数の微分公式を使います。$u = 3x-1$ とおくと、$y = u^5$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5u^4 = 5(3x-1)^4$

$\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{dy}{dx} = 5(3x-1)^4 \cdot 3 = 15(3x-1)^4$

2) $\sin(2x^2+1)$ の微分

これも合成関数の微分公式を使います。$u = 2x^2+1$ とおくと、$y = \sin u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos u = \cos(2x^2+1)$

$\frac{du}{dx} = 4x$

$\frac{dy}{dx} = \cos(2x^2+1) \cdot 4x = 4x\cos(2x^2+1)$

3) $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ の微分

$y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

$y = (\frac{1-x}{1+x})^{1/2}$

$u = \frac{1-x}{1+x}$ とおくと $y = u^{1/2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = -\frac{1}{\sqrt{(1+x)(1-x)}(1+x)} = -\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

4) $(e^x+a)^2$ の微分

$u=e^x+a$ とおくと、$y=u^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u = 2(e^x+a)$

$\frac{du}{dx} = e^x$

$\frac{dy}{dx} = 2(e^x+a) \cdot e^x = 2e^x(e^x+a)$

3. 最終的な答え

1) $15(3x-1)^4$

2) $4x\cos(2x^2+1)$

3) $-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

4) $2e^x(e^x+a)$