与えられた4つの関数を微分する問題です。 1. $y = (3x-1)^5$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

1. $y = (3x-1)^5$

2. $y = \sin(2x^2 + 1)$

3. $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

4. $y = (e^x + a)^2$ (ただし、$a$は定数)

2. 解き方の手順

1) $y = (3x-1)^5$ の微分

合成関数の微分法を使います。$u = 3x - 1$ とおくと、$y = u^5$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、$\frac{dy}{dx} = 5(3x-1)^4 \cdot 3 = 15(3x-1)^4$

2) $y = \sin(2x^2 + 1)$ の微分

こちらも合成関数の微分法を使います。$u = 2x^2 + 1$ とおくと、$y = \sin u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = 4x$

よって、$\frac{dy}{dx} = \cos(2x^2 + 1) \cdot 4x = 4x\cos(2x^2 + 1)$

3) $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ の微分

$y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = (\frac{1-x}{1+x})^{\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{1-x}{1+x})^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} (\frac{1-x}{1+x})$

$\frac{d}{dx} (\frac{1-x}{1+x}) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1 - x - 1 + x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{1-x}{1+x})^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)^2} \cdot \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

4) $y = (e^x + a)^2$ の微分

$u = e^x + a$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = e^x$

よって、$\frac{dy}{dx} = 2(e^x + a) \cdot e^x = 2e^x(e^x + a)$

3. 最終的な答え

1) $\frac{d}{dx}(3x-1)^5 = 15(3x-1)^4$

2) $\frac{d}{dx}\sin(2x^2 + 1) = 4x\cos(2x^2 + 1)$

3) $\frac{d}{dx}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

4) $\frac{d}{dx}(e^x + a)^2 = 2e^x(e^x + a)$