関数 $y = x + \sin x$ の区間 $I = [0, 2\pi]$ における増減を調べる問題です。微分 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成して関数の増減を調べます。

1. 問題の内容

関数 $y = x + \sin x$ の区間 $I = [0, 2\pi]$ における増減を調べる問題です。微分 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成して関数の増減を調べます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x + \sin x$ を微分します。

$y' = \frac{d}{dx}(x + \sin x) = 1 + \cos x$

次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$1 + \cos x = 0$

$\cos x = -1$

$x = \pi$

ただし、区間 $I = [0, 2\pi]$ を考慮します。$0 \le x \le 2\pi$ なので、$\cos x = -1$ を満たすのは $x = \pi$ のみです。

次に増減表を作成します。

$x$の値は、$0$, $\pi$, $2\pi$ です。

$y'= 1 + \cos x$ なので、$x=0$のとき、$y' = 1 + \cos 0 = 1 + 1 = 2 > 0$。

$x=\pi$のとき、$y' = 1 + \cos \pi = 1 - 1 = 0$。

$x=2\pi$のとき、$y' = 1 + \cos 2\pi = 1 + 1 = 2 > 0$。

$0 < x < \pi$のとき、例えば$x = \pi/2$をとると、$y' = 1 + \cos (\pi/2) = 1 + 0 = 1 > 0$。

$\pi < x < 2\pi$のとき、例えば$x = 3\pi/2$をとると、$y' = 1 + \cos (3\pi/2) = 1 + 0 = 1 > 0$。

したがって、$x < \pi$のとき $y' > 0$、$x > \pi$のとき $y' > 0$となります。

したがって、$y$は常に増加します。$x=\pi$のとき、$y'=0$となります。

増減表は次のようになります。

| x | 0 | ... | $\pi$ | ... | $2\pi$ |

|-------|-------|--------|--------|--------|--------|

| $y'$ | + | + | 0 | + | + |

| y | | 増加 | | 増加 | |

3. 最終的な答え

関数 $y = x + \sin x$ は、区間 $[0, 2\pi]$ で単調増加であり、$x = \pi$ で傾きが一時的に0になる。