周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$) のフーリエ級数を求める問題です。

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$) のフーリエ級数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$ のフーリエ級数は、次のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、それぞれ次のように計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx$

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} (-\cos \pi + \cos 0) = \frac{2}{\pi} (1 + 1) = \frac{4}{\pi}$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| \cos nx dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos nx dx$

三角関数の積和公式 $\sin x \cos nx = \frac{1}{2}[\sin(x+nx) + \sin(x-nx)] = \frac{1}{2}[\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)]$ を用いると、

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)] dx = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos((n+1)x)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)x)}{n-1}]_0^{\pi}$ (ただし、$n \ne 1$)

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[-\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)\pi)}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}\right]$

$\cos((n+1)\pi) = \cos((n-1)\pi) = (-1)^{n+1}$ より、

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ - \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n+1}}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}\right] = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1 - (-1)^{n+1}}{n+1} - \frac{1 - (-1)^{n+1}}{n-1} \right] = \frac{1 - (-1)^{n+1}}{\pi} \left[ \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}\right]$

$a_n = \frac{1 - (-1)^{n+1}}{\pi} \frac{n-1 - (n+1)}{(n+1)(n-1)} = \frac{1 - (-1)^{n+1}}{\pi} \frac{-2}{n^2 - 1} = \frac{2( (-1)^{n+1} - 1 )}{\pi (n^2 - 1)}$

$n=1$ のとき、

$a_1 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \cos x dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin 2x dx = \frac{1}{\pi} [-\frac{1}{2} \cos 2x]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi} [-\frac{1}{2} (1 - 1)] = 0$

したがって、

$a_n = 0$ ($n$ が奇数のとき)

$a_n = -\frac{4}{\pi (n^2 - 1)}$ ($n$ が偶数のとき)

次に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| \sin nx dx$

$|\sin x| \sin nx$ は奇関数なので、$b_n = 0$

以上より、フーリエ級数は次のようになります。

$f(x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} \cos 2nx = \frac{2}{\pi} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{\pi (4n^2 - 1)} \cos 2nx$

$f(x) = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1} \cos 2nx$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1} \cos 2nx$