定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の中の関数 $(x-4)(x-1)$ の符号を調べます。

$x-4 = 0$ となるのは $x=4$ のとき、 $x-1=0$ となるのは $x=1$ のときです。

$f(x) = (x-4)(x-1)$ とおくと、

- $0 \le x < 1$ のとき、$x-4<0$ かつ $x-1<0$ であるので、 $f(x)>0$

- $1 < x < 4$ のとき、$x-4<0$ かつ $x-1>0$ であるので、 $f(x)<0$

- $x = 1$ および $x=4$のとき、$f(x)=0$

- $x > 4$ のとき、$x-4>0$ かつ $x-1>0$ であるので、 $f(x)>0$

したがって、$0 \le x \le 4$ において、

$|(x-4)(x-1)| = \begin{cases} (x-4)(x-1) & (0 \le x \le 1) \\ -(x-4)(x-1) & (1 \le x \le 4) \end{cases}$

となるので、積分を分割して計算します。

$\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx = \int_{0}^{1} (x-4)(x-1) dx + \int_{1}^{4} -(x-4)(x-1) dx$

$(x-4)(x-1) = x^2 - 5x + 4$ なので、

$\int_{0}^{1} (x^2 - 5x + 4) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{2 - 15 + 24}{6} = \frac{11}{6}$

$\int_{1}^{4} -(x^2 - 5x + 4) dx = -[\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x]_{1}^{4} = -\{ (\frac{64}{3} - \frac{5}{2} \cdot 16 + 16) - (\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4) \} = -\{ \frac{64}{3} - 40 + 16 - \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \} = -\{ \frac{63}{3} - 28 + \frac{5}{2} \} = -\{ 21 - 28 + \frac{5}{2} \} = -\{ -7 + \frac{5}{2} \} = 7 - \frac{5}{2} = \frac{14 - 5}{2} = \frac{9}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx = \frac{11}{6} + \frac{9}{2} = \frac{11 + 27}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{19}{3}$