周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ （$-\pi \le x < \pi$）, $f(x+2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ （$-\pi \le x < \pi$）, $f(x+2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ のフーリエ級数は以下のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、以下のように計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

$f(x) = |\sin x|$ は偶関数なので、$b_n = 0$ となります。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} (-\cos \pi + \cos 0) = \frac{2}{\pi} (1+1) = \frac{4}{\pi}$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos(nx) dx$

ここで積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$ を用いると、

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)) dx = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos((n+1)x)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)x)}{n-1} \right]_0^{\pi}$

($n \neq 1$ の場合)

$a_n = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)\pi)}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right)$

$\cos((n+1)\pi) = (-1)^{n+1}$, $\cos((n-1)\pi) = (-1)^{n-1} = (-1)^{n+1}$ なので、

$a_n = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n+1}}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{1-(-1)^{n+1}}{n+1} - \frac{1-(-1)^{n+1}}{n-1} \right) = \frac{1-(-1)^{n+1}}{\pi} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right) = \frac{1-(-1)^{n+1}}{\pi} \left( \frac{n-1-(n+1)}{(n+1)(n-1)} \right) = \frac{1-(-1)^{n+1}}{\pi} \left( \frac{-2}{n^2-1} \right)$

$n$ が偶数のとき、$a_n = 0$.

$n$ が奇数のとき、$a_n = \frac{2}{\pi} \frac{-2}{n^2-1} = -\frac{4}{\pi (n^2-1)}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos x dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(2x)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 0$

$a_{2k+1} = -\frac{4}{\pi ((2k+1)^2 - 1)} = -\frac{4}{\pi (4k^2+4k)} = -\frac{1}{\pi (k^2+k)}$

したがって、フーリエ級数は

$f(x) = \frac{2}{\pi} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{\pi(4k^2-1)} \cos(2kx)$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{2}{\pi} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{\pi(4k^2-1)} \cos(2kx) = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2kx)}{4k^2-1}$