関数 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 4x - 2y$ の極値を求める問題です。極値を取る $x, y$ の値と、極大値か極小値か、そしてその極値の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 4x - 2y$ の極値を求める問題です。極値を取る $x, y$ の値と、極大値か極小値か、そしてその極値の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 4$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y - 2$

次に、連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解いて、停留点を求めます。

$2x + y - 4 = 0$

$x + 2y - 2 = 0$

この連立方程式を解きます。2番目の式を2倍して、最初の式から引きます。

$2x + y - 4 - 2(x + 2y - 2) = 0$

$2x + y - 4 - 2x - 4y + 4 = 0$

$-3y = 0$

$y = 0$

$y=0$ を $x + 2y - 2 = 0$ に代入すると、$x - 2 = 0$ より $x = 2$ が得られます。

したがって、停留点は $(2, 0)$ です。

次に、ヘッセ行列式を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1$

ヘッセ行列式 $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$D = (2)(2) - (1)^2 = 4 - 1 = 3$

停留点 $(2, 0)$ において、$D = 3 > 0$ かつ $f_{xx} = 2 > 0$ なので、$(2, 0)$ で極小値を取ります。

最後に、極小値を計算します。

$f(2, 0) = (2)^2 + (2)(0) + (0)^2 - 4(2) - 2(0) = 4 + 0 + 0 - 8 - 0 = -4$

3. 最終的な答え

x=2, y=0で

極値は極小値

-4 をとる。