関数 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 4x - 2y$ の極値を求める問題です。極値を取る $x, y$ の値と、極大値か極小値か、そしてその極値の値を求めます。

解析学多変数関数極値偏微分ヘッセ行列
2025/7/9

1. 問題の内容

関数 f(x,y)=x2+xy+y24x2yf(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 4x - 2y の極値を求める問題です。極値を取る x,yx, y の値と、極大値か極小値か、そしてその極値の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算します。
fx=fx=2x+y4f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 4
fy=fy=x+2y2f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y - 2
次に、連立方程式 fx=0f_x = 0 かつ fy=0f_y = 0 を解いて、停留点を求めます。
2x+y4=02x + y - 4 = 0
x+2y2=0x + 2y - 2 = 0
この連立方程式を解きます。2番目の式を2倍して、最初の式から引きます。
2x+y42(x+2y2)=02x + y - 4 - 2(x + 2y - 2) = 0
2x+y42x4y+4=02x + y - 4 - 2x - 4y + 4 = 0
3y=0-3y = 0
y=0y = 0
y=0y=0x+2y2=0x + 2y - 2 = 0 に代入すると、x2=0x - 2 = 0 より x=2x = 2 が得られます。
したがって、停留点は (2,0)(2, 0) です。
次に、ヘッセ行列式を計算します。
fxx=2fx2=2f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2
fyy=2fy2=2f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2
fxy=2fxy=1f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1
ヘッセ行列式 D=fxxfyy(fxy)2D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 を計算します。
D=(2)(2)(1)2=41=3D = (2)(2) - (1)^2 = 4 - 1 = 3
停留点 (2,0)(2, 0) において、D=3>0D = 3 > 0 かつ fxx=2>0f_{xx} = 2 > 0 なので、(2,0)(2, 0) で極小値を取ります。
最後に、極小値を計算します。
f(2,0)=(2)2+(2)(0)+(0)24(2)2(0)=4+0+080=4f(2, 0) = (2)^2 + (2)(0) + (0)^2 - 4(2) - 2(0) = 4 + 0 + 0 - 8 - 0 = -4

3. 最終的な答え

x=2, y=0で
極値は極小値
-4 をとる。

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