SENSEI AI
About App

この問題は、三角関数の値を計算したり、三角関数を含む式を簡単にしたり、三角関数の方程式や不等式を解いたり、三角関数を含む式の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の8つの小問があります。 (1) $\tan \alpha = 4$ のとき、$\frac{1}{1 - \cos \alpha} + \frac{1}{1 + \cos \alpha}$ の値を求めよ。 (2) $\sin \theta + \sin(90^\circ - \theta) + \cos(90^\circ + \theta) + \cos(180^\circ - \theta)$ を簡単にせよ。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\cos \theta - \sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めよ。 (4) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\cos \theta - \sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\tan^2 \theta + \frac{1}{\tan^2 \theta}$ の値を求めよ。 (5) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$2 \cos^2 \theta - \sin \theta + 1 = 0$ を解け。 (6) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$2 \sin^2 \theta + \cos \theta < 1$ を解け。 (7) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$-2 \sin \theta - 1$ の最大値と最小値を求めよ。 (8) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\cos^2 \theta - \sin \theta + 1$ の最大値と最小値を求めよ。

解析学三角関数三角関数の値三角関数の計算三角関数の最大最小三角関数の方程式三角関数の不等式
2025/7/9
はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

この問題は、三角関数の値を計算したり、三角関数を含む式を簡単にしたり、三角関数の方程式や不等式を解いたり、三角関数を含む式の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の8つの小問があります。
(1) tan⁡α=4\tan \alpha = 4 のとき、11−cos⁡α+11+cos⁡α\frac{1}{1 - \cos \alpha} + \frac{1}{1 + \cos \alpha} の値を求めよ。
(2) sin⁡θ+sin⁡(90∘−θ)+cos⁡(90∘+θ)+cos⁡(180∘−θ)\sin \theta + \sin(90^\circ - \theta) + \cos(90^\circ + \theta) + \cos(180^\circ - \theta) を簡単にせよ。
(3) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ であり、cos⁡θ−sin⁡θ=12\cos \theta - \sin \theta = \frac{1}{2} のとき、sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta の値を求めよ。
(4) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ であり、cos⁡θ−sin⁡θ=12\cos \theta - \sin \theta = \frac{1}{2} のとき、tan⁡2θ+1tan⁡2θ\tan^2 \theta + \frac{1}{\tan^2 \theta} の値を求めよ。
(5) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、2cos⁡2θ−sin⁡θ+1=02 \cos^2 \theta - \sin \theta + 1 = 0 を解け。
(6) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、2sin⁡2θ+cos⁡θ<12 \sin^2 \theta + \cos \theta < 1 を解け。
(7) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、−2sin⁡θ−1-2 \sin \theta - 1 の最大値と最小値を求めよ。
(8) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、cos⁡2θ−sin⁡θ+1\cos^2 \theta - \sin \theta + 1 の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
11−cos⁡α+11+cos⁡α=1+cos⁡α+1−cos⁡α(1−cos⁡α)(1+cos⁡α)=21−cos⁡2α=2sin⁡2α\frac{1}{1 - \cos \alpha} + \frac{1}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha + 1 - \cos \alpha}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} = \frac{2}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{2}{\sin^2 \alpha}
tan⁡α=4\tan \alpha = 4 より、sin⁡αcos⁡α=4\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 4。
sin⁡α=4cos⁡α\sin \alpha = 4 \cos \alpha。
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 より、(4cos⁡α)2+cos⁡2α=1(4 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1。
16cos⁡2α+cos⁡2α=116 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1。
17cos⁡2α=117 \cos^2 \alpha = 1。
cos⁡2α=117\cos^2 \alpha = \frac{1}{17}。
sin⁡2α=1−cos⁡2α=1−117=1617\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{17} = \frac{16}{17}。
2sin⁡2α=21617=2⋅1716=178\frac{2}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\frac{16}{17}} = \frac{2 \cdot 17}{16} = \frac{17}{8}
(2)
sin⁡θ+sin⁡(90∘−θ)+cos⁡(90∘+θ)+cos⁡(180∘−θ)=sin⁡θ+cos⁡θ−sin⁡θ−cos⁡θ=0\sin \theta + \sin(90^\circ - \theta) + \cos(90^\circ + \theta) + \cos(180^\circ - \theta) = \sin \theta + \cos \theta - \sin \theta - \cos \theta = 0
(3)
cos⁡θ−sin⁡θ=12\cos \theta - \sin \theta = \frac{1}{2} の両辺を2乗すると、
(cos⁡θ−sin⁡θ)2=(12)2(\cos \theta - \sin \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2。
cos⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+sin⁡2θ=14\cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta = \frac{1}{4}。
1−2sin⁡θcos⁡θ=141 - 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}。
2sin⁡θcos⁡θ=1−14=342 \sin \theta \cos \theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}。
sin⁡θcos⁡θ=38\sin \theta \cos \theta = \frac{3}{8}
(4)
tan⁡2θ+1tan⁡2θ=tan⁡2θ+cot⁡2θ=sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θsin⁡2θ=sin⁡4θ+cos⁡4θsin⁡2θcos⁡2θ=(sin⁡2θ+cos⁡2θ)2−2sin⁡2θcos⁡2θsin⁡2θcos⁡2θ=1−2sin⁡2θcos⁡2θsin⁡2θcos⁡2θ=1sin⁡2θcos⁡2θ−2\tan^2 \theta + \frac{1}{\tan^2 \theta} = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} - 2
sin⁡θcos⁡θ=38\sin \theta \cos \theta = \frac{3}{8} より、
1(38)2−2=1964−2=649−2=64−189=469\frac{1}{(\frac{3}{8})^2} - 2 = \frac{1}{\frac{9}{64}} - 2 = \frac{64}{9} - 2 = \frac{64 - 18}{9} = \frac{46}{9}
(5)
2cos⁡2θ−sin⁡θ+1=02 \cos^2 \theta - \sin \theta + 1 = 0。
2(1−sin⁡2θ)−sin⁡θ+1=02(1 - \sin^2 \theta) - \sin \theta + 1 = 0。
2−2sin⁡2θ−sin⁡θ+1=02 - 2 \sin^2 \theta - \sin \theta + 1 = 0。
−2sin⁡2θ−sin⁡θ+3=0-2 \sin^2 \theta - \sin \theta + 3 = 0。
2sin⁡2θ+sin⁡θ−3=02 \sin^2 \theta + \sin \theta - 3 = 0。
(2sin⁡θ+3)(sin⁡θ−1)=0(2 \sin \theta + 3)(\sin \theta - 1) = 0。
sin⁡θ=1,−32\sin \theta = 1, -\frac{3}{2}
0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ より、sin⁡θ=1\sin \theta = 1。
θ=90∘\theta = 90^\circ
(6)
2sin⁡2θ+cos⁡θ<12 \sin^2 \theta + \cos \theta < 1。
2(1−cos⁡2θ)+cos⁡θ<12(1 - \cos^2 \theta) + \cos \theta < 1。
2−2cos⁡2θ+cos⁡θ<12 - 2 \cos^2 \theta + \cos \theta < 1。
−2cos⁡2θ+cos⁡θ+1<0-2 \cos^2 \theta + \cos \theta + 1 < 0。
2cos⁡2θ−cos⁡θ−1>02 \cos^2 \theta - \cos \theta - 1 > 0。
(2cos⁡θ+1)(cos⁡θ−1)>0(2 \cos \theta + 1)(\cos \theta - 1) > 0。
cos⁡θ<−12\cos \theta < -\frac{1}{2} または cos⁡θ>1\cos \theta > 1
cos⁡θ>1\cos \theta > 1 はあり得ない。
cos⁡θ<−12\cos \theta < -\frac{1}{2}
0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ より、120∘<θ≤180∘120^\circ < \theta \le 180^\circ
(7)
0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、0≤sin⁡θ≤10 \le \sin \theta \le 1。
−2sin⁡θ−1-2 \sin \theta - 1 の最大値は、sin⁡θ=0\sin \theta = 0 のとき、−2(0)−1=−1-2(0) - 1 = -1。
−2sin⁡θ−1-2 \sin \theta - 1 の最小値は、sin⁡θ=1\sin \theta = 1 のとき、−2(1)−1=−3-2(1) - 1 = -3。
(8)
cos⁡2θ−sin⁡θ+1=(1−sin⁡2θ)−sin⁡θ+1=−sin⁡2θ−sin⁡θ+2\cos^2 \theta - \sin \theta + 1 = (1 - \sin^2 \theta) - \sin \theta + 1 = -\sin^2 \theta - \sin \theta + 2
f(sin⁡θ)=−sin⁡2θ−sin⁡θ+2f(\sin \theta) = -\sin^2 \theta - \sin \theta + 2
f(sin⁡θ)=−(sin⁡2θ+sin⁡θ)+2=−(sin⁡θ+12)2+14+2=−(sin⁡θ+12)2+94f(\sin \theta) = -(\sin^2 \theta + \sin \theta) + 2 = -(\sin \theta + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = -(\sin \theta + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}
最大値は、sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2} のときですが、範囲よりsin⁡θ=0\sin \theta = 0のとき
θ=0\theta = 0または180180。最大値は22
最小値は、sin⁡θ=1\sin \theta = 1 のとき。
θ=90\theta = 90。 最小値は、 −(1+12)2+94=−1−1+2=0-(1 + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}= -1-1+2=0 0<=sin⁡(x)<=10<=\sin(x)<=1
よって、θ=90\theta = 90 最小値は、0

3. 最終的な答え

(1) 178\frac{17}{8}
(2) 00
(3) 38\frac{3}{8}
(4) 469\frac{46}{9}
(5) θ=90∘\theta = 90^\circ
(6) 120∘<θ≤180∘120^\circ < \theta \le 180^\circ
(7) 最大値：−1-1, 最小値：−3-3
(8) 最大値：22, 最小値：00

「解析学」の関連問題

与えられた積分 $\int x^3 \sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

積分置換積分定積分
2025/7/9

三角関数の値を求める問題です。以下の3つの値を計算します。 (1) $\sin(-\frac{\pi}{6})$ (2) $\cos(-\frac{13\pi}{6})$ (3) $\tan(-\fr...

三角関数sincostan三角関数の値
2025/7/9

次の関数のグラフを書き、その周期を求めよ。 (1) $y = \sin 2(\theta + \frac{\pi}{3})$ (2) $y = \cos (\frac{\theta}{2} - \fr...

三角関数グラフ周期
2025/7/9

与えられた3つの三角関数 (1) $y = \cos 2\theta$ (2) $y = \sin \frac{\theta}{2}$ (3) $y = \tan 2\theta$ のグラフを描き、そ...

三角関数グラフ周期cossintan
2025/7/9

次の定積分を計算する問題です。 $\int_{0}^{\log 2} \frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^{x}}{e^{2x}} dx$

定積分指数関数積分計算
2025/7/9

次の3つの三角関数のグラフを書き、それぞれの周期を求めます。 (1) $y = \cos(\theta - \frac{\pi}{3})$ (2) $y = \sin(\theta + \frac{\...

三角関数グラフ周期平行移動
2025/7/9

定積分 $\int_{1}^{8} \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

定積分積分べき乗計算
2025/7/9

曲線 $C: y = x - x^3$ 上の点 $A(1, 0)$ における接線を $\ell$ とする。$C$ と $\ell$ の共有点のうち $A$ と異なる点を $B$ とする。また、$-2 ...

微分接線面積最大値積分
2025/7/9

与えられた関数 $f(x, y) = 0$ が、与えられた点 $(x_0, y_0)$ の近くで陰関数 $y = \varphi(x)$ を持つことを示し、点 $(x_0, y_0)$ における接線を...

陰関数偏微分接線陰関数定理
2025/7/9

与えられた点 $(x_0, y_0)$ の近くで、方程式 $f(x,y) = 0$ が陰関数 $y = \phi(x)$ を持つことを示し、点 $(x_0, y_0)$ における接線を求める。ここでは...

陰関数陰関数定理偏微分接線微分
2025/7/9