陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ で表される関数 $y$ の2階導関数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求め、その結果が $-\frac{1}{(Ax+By)^C}$ の形になるように、$A, B, C$ の値を求める問題です。

解析学陰関数微分2階導関数数式処理
2025/7/9

1. 問題の内容

陰関数 x2+2xy+2y2=1x^2 + 2xy + 2y^2 = 1 で表される関数 yy の2階導関数 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} を求め、その結果が 1(Ax+By)C-\frac{1}{(Ax+By)^C} の形になるように、A,B,CA, B, C の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた陰関数 x2+2xy+2y2=1x^2 + 2xy + 2y^2 = 1xx で微分します。
2x+2y+2xdydx+4ydydx=02x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0
dydx(2x+4y)=2x2y\frac{dy}{dx}(2x + 4y) = -2x - 2y
dydx=x+yx+2y\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}
(2) さらに xx で微分して、2階導関数 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} を求めます。
d2ydx2=ddx(x+yx+2y)=(1+dydx)(x+2y)(x+y)(1+2dydx)(x+2y)2\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x+y}{x+2y}\right) = -\frac{(1+\frac{dy}{dx})(x+2y) - (x+y)(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}
d2ydx2=(x+2y+xdydx+2ydydx)(x+y+2xdydx+2ydydx)(x+2y)2\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(x+2y + x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}) - (x+y+2x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}
d2ydx2=yxdydx(x+2y)2\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{(x+2y)^2}
(3) dydx=x+yx+2y\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y} を代入します。
d2ydx2=yx(x+yx+2y)(x+2y)2=y+x2+xyx+2y(x+2y)2\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x(-\frac{x+y}{x+2y})}{(x+2y)^2} = -\frac{y + \frac{x^2+xy}{x+2y}}{(x+2y)^2}
d2ydx2=y(x+2y)+x2+xyx+2y(x+2y)2=xy+2y2+x2+xy(x+2y)3\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\frac{y(x+2y)+x^2+xy}{x+2y}}{(x+2y)^2} = -\frac{xy+2y^2+x^2+xy}{(x+2y)^3}
d2ydx2=x2+2xy+2y2(x+2y)3\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{x^2 + 2xy + 2y^2}{(x+2y)^3}
(4) 与えられた式 x2+2xy+2y2=1x^2 + 2xy + 2y^2 = 1 を代入します。
d2ydx2=1(x+2y)3\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x+2y)^3}
(5) よって、A=1,B=2,C=3A = 1, B = 2, C = 3 となります。

3. 最終的な答え

A = 1
B = 2
C = 3

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