陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ で表される関数 $y$ の2階導関数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求め、その結果が $-\frac{1}{(Ax+By)^C}$ の形になるように、$A, B, C$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ で表される関数 $y$ の2階導関数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求め、その結果が $-\frac{1}{(Ax+By)^C}$ の形になるように、$A, B, C$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ を $x$ で微分します。

$2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(2x + 4y) = -2x - 2y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}$

(2) さらに $x$ で微分して、2階導関数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x+y}{x+2y}\right) = -\frac{(1+\frac{dy}{dx})(x+2y) - (x+y)(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(x+2y + x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}) - (x+y+2x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{(x+2y)^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x(-\frac{x+y}{x+2y})}{(x+2y)^2} = -\frac{y + \frac{x^2+xy}{x+2y}}{(x+2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\frac{y(x+2y)+x^2+xy}{x+2y}}{(x+2y)^2} = -\frac{xy+2y^2+x^2+xy}{(x+2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{x^2 + 2xy + 2y^2}{(x+2y)^3}$

(4) 与えられた式 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ を代入します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x+2y)^3}$

(5) よって、$A = 1, B = 2, C = 3$ となります。

3. 最終的な答え

A = 1

B = 2

C = 3