与えられた9つの関数それぞれの導関数を求める問題です。

解析学微分導関数合成関数の微分積の微分商の微分
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた9つの関数それぞれの導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) y=(x3+3x+9)10y = (x^3 + 3x + 9)^{10} の導関数
合成関数の微分法を用います。u=x3+3x+9u = x^3 + 3x + 9 とおくと、y=u10y = u^{10}
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydu=10u9\frac{dy}{du} = 10u^9
dudx=3x2+3\frac{du}{dx} = 3x^2 + 3
よって、
dydx=10(x3+3x+9)9(3x2+3)=30(x2+1)(x3+3x+9)9\frac{dy}{dx} = 10(x^3 + 3x + 9)^9 (3x^2 + 3) = 30(x^2 + 1)(x^3 + 3x + 9)^9
(2) y=e2xsin3xy = e^{2x} \sin 3x の導関数
積の微分法を用います。(uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv'
u=e2xu = e^{2x} , v=sin3xv = \sin 3x とおくと、
u=2e2xu' = 2e^{2x}
v=3cos3xv' = 3\cos 3x
よって、
dydx=2e2xsin3x+e2x(3cos3x)=e2x(2sin3x+3cos3x)\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} (3\cos 3x) = e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)
(3) y=2x+1x2+8x+4y = \frac{2x+1}{x^2+8x+4} の導関数
商の微分法を用います。(uv)=uvuvv2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
u=2x+1u = 2x+1 , v=x2+8x+4v = x^2+8x+4 とおくと、
u=2u' = 2
v=2x+8v' = 2x + 8
よって、
dydx=2(x2+8x+4)(2x+1)(2x+8)(x2+8x+4)2=2x2+16x+8(4x2+18x+8)(x2+8x+4)2=2x22x(x2+8x+4)2=2x(x+1)(x2+8x+4)2\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2+8x+4) - (2x+1)(2x+8)}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{2x^2+16x+8 - (4x^2+18x+8)}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x^2-2x}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}
(4) y=1x2+1y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} の導関数
合成関数の微分法を用います。u=x2+1u = x^2 + 1 とおくと、y=(u)12y = (u)^{-\frac{1}{2}}
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydu=12u32\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2} u^{-\frac{3}{2}}
dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x
よって、
dydx=12(x2+1)32(2x)=x(x2+1)32=x(x2+1)32\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} (x^2+1)^{-\frac{3}{2}} (2x) = -x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} = \frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}
(5) y=log(log(x2+9))y = \log(\log(x^2+9)) の導関数
合成関数の微分法を用います。u=log(x2+9)u = \log(x^2+9), v=x2+9v = x^2 + 9とおくと、y=log(u)y = \log(u)u=log(v)u = \log(v)
dydx=dydududvdvdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} より、
dydu=1u\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}
dudv=1v\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}
dvdx=2x\frac{dv}{dx} = 2x
よって、
dydx=1log(x2+9)1x2+92x=2x(x2+9)log(x2+9)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log(x^2+9)} \cdot \frac{1}{x^2+9} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2+9)\log(x^2+9)}
(6) y=tan2xy = \tan^2 x の導関数
合成関数の微分法を用います。u=tanxu = \tan x とおくと、y=u2y = u^2
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydu=2u\frac{dy}{du} = 2u
dudx=1cos2x\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}
よって、
dydx=2tanx1cos2x=2sinxcos3x\frac{dy}{dx} = 2\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}
(7) y=cos3xy = \cos^3 \sqrt{x} の導関数
合成関数の微分法を用います。u=xu = \sqrt{x}, v=cosuv = \cos uとおくと、y=v3y = v^3u=x12u = x^{\frac{1}{2}}
dydx=dydvdvdududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydv=3v2\frac{dy}{dv} = 3v^2
dvdu=sinu\frac{dv}{du} = -\sin u
dudx=12x\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
よって、
dydx=3cos2x(sinx)12x=3cos2xsinx2x\frac{dy}{dx} = 3\cos^2 \sqrt{x} \cdot (-\sin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
(8) y=sin1(x2)y = \sin^{-1} (x^2) の導関数
合成関数の微分法を用います。u=x2u = x^2とおくと、y=sin1uy = \sin^{-1} u
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydu=11u2\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}
dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x
よって、
dydx=11x42x=2x1x4\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}
(9) y=x1xy = x^{\frac{1}{x}} の導関数
両辺の対数をとります。
logy=1xlogx\log y = \frac{1}{x} \log x
両辺をxxで微分します。
1ydydx=1x2logx+1x1x=1logxx2\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1-\log x}{x^2}
よって、
dydx=y1logxx2=x1x1logxx2\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1-\log x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-\log x}{x^2}

3. 最終的な答え

(1) 30(x2+1)(x3+3x+9)930(x^2 + 1)(x^3 + 3x + 9)^9
(2) e2x(2sin3x+3cos3x)e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)
(3) 2x(x+1)(x2+8x+4)2\frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}
(4) x(x2+1)32\frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}
(5) 2x(x2+9)log(x2+9)\frac{2x}{(x^2+9)\log(x^2+9)}
(6) 2sinxcos3x\frac{2\sin x}{\cos^3 x}
(7) 3cos2xsinx2x-\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
(8) 2x1x4\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}
(9) x1x1logxx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-\log x}{x^2}

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