与えられた9つの関数それぞれの導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた9つの関数それぞれの導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^3 + 3x + 9)^{10}$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$u = x^3 + 3x + 9$ とおくと、$y = u^{10}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 10u^9$

$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 10(x^3 + 3x + 9)^9 (3x^2 + 3) = 30(x^2 + 1)(x^3 + 3x + 9)^9$

(2) $y = e^{2x} \sin 3x$ の導関数

積の微分法を用います。$(uv)' = u'v + uv'$。

$u = e^{2x}$ , $v = \sin 3x$ とおくと、

$u' = 2e^{2x}$

$v' = 3\cos 3x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} (3\cos 3x) = e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(3) $y = \frac{2x+1}{x^2+8x+4}$ の導関数

商の微分法を用います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。

$u = 2x+1$ , $v = x^2+8x+4$ とおくと、

$u' = 2$

$v' = 2x + 8$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2+8x+4) - (2x+1)(2x+8)}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{2x^2+16x+8 - (4x^2+18x+8)}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x^2-2x}{(x^2+8x+4)^2} = \frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = (u)^{-\frac{1}{2}}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2} u^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} (x^2+1)^{-\frac{3}{2}} (2x) = -x(x^2+1)^{-\frac{3}{2}} = \frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $y = \log(\log(x^2+9))$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$u = \log(x^2+9)$, $v = x^2 + 9$とおくと、$y = \log(u)$、 $u = \log(v)$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log(x^2+9)} \cdot \frac{1}{x^2+9} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2+9)\log(x^2+9)}$

(6) $y = \tan^2 x$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$u = \tan x$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

(7) $y = \cos^3 \sqrt{x}$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$u = \sqrt{x}$, $v = \cos u$とおくと、$y = v^3$、 $u = x^{\frac{1}{2}}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{dv} = 3v^2$

$\frac{dv}{du} = -\sin u$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3\cos^2 \sqrt{x} \cdot (-\sin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

(8) $y = \sin^{-1} (x^2)$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$u = x^2$とおくと、$y = \sin^{-1} u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

(9) $y = x^{\frac{1}{x}}$ の導関数

両辺の対数をとります。

$\log y = \frac{1}{x} \log x$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1-\log x}{x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1-\log x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-\log x}{x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $30(x^2 + 1)(x^3 + 3x + 9)^9$

(2) $e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(3) $\frac{-2x(x+1)}{(x^2+8x+4)^2}$

(4) $\frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $\frac{2x}{(x^2+9)\log(x^2+9)}$

(6) $\frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

(7) $-\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

(8) $\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

(9) $x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-\log x}{x^2}$