## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。問題は以下の4つです。

(1) $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$

(2) $\int_{-3}^3 \sqrt{9-x^2} \, dx$

(3) $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} \, dx$

(4) $\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$

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2. 解き方の手順

これらの積分は、三角関数による置換積分を用いて解きます。

(1) $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$

$x = \sin\theta$ と置換します。$dx = \cos\theta \, d\theta$。

積分範囲：$x=0 \Rightarrow \theta=0$, $x=1 \Rightarrow \theta=\pi/2$

よって、

$\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$

(2) $\int_{-3}^3 \sqrt{9-x^2} \, dx$

$x = 3\sin\theta$ と置換します。$dx = 3\cos\theta \, d\theta$。

積分範囲：$x=-3 \Rightarrow \theta=-\pi/2$, $x=3 \Rightarrow \theta=\pi/2$

よって、

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{9-9\sin^2\theta} \cdot 3\cos\theta \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 3\cos\theta \cdot 3\cos\theta \, d\theta = 9\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta = 9\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = 9 \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 9 \left( \frac{\pi}{4} - \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) = \frac{9\pi}{2}$

(3) $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} \, dx$

$x = 2\sin\theta$ と置換します。$dx = 2\cos\theta \, d\theta$。

積分範囲：$x=-1 \Rightarrow \theta = \arcsin(-1/2) = -\pi/6$, $x=\sqrt{3} \Rightarrow \theta = \arcsin(\sqrt{3}/2) = \pi/3$

よって、

$\int_{-\pi/6}^{\pi/3} \sqrt{4-4\sin^2\theta} \cdot 2\cos\theta \, d\theta = \int_{-\pi/6}^{\pi/3} 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta \, d\theta = 4\int_{-\pi/6}^{\pi/3} \cos^2\theta \, d\theta = 4\int_{-\pi/6}^{\pi/3} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = 2 \left[ \theta + \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{-\pi/6}^{\pi/3} = 2 \left[ \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\sin(2\pi/3)}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\sin(-\pi/3)}{2} \right) \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}/2}{2} + \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}/2}{2} \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \pi + \sqrt{3}$

(4) $\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$

$x = 2\sin\theta$ と置換します。$dx = 2\cos\theta \, d\theta$。

積分範囲：$x=1 \Rightarrow \theta = \arcsin(1/2) = \pi/6$, $x=\sqrt{3} \Rightarrow \theta = \arcsin(\sqrt{3}/2) = \pi/3$

よって、

$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} \cdot 2\cos\theta \, d\theta = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{2\cos\theta}{2\cos\theta} \, d\theta = \int_{\pi/6}^{\pi/3} 1 \, d\theta = \left[ \theta \right]_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{9\pi}{2}$

(3) $\pi + \sqrt{3}$

(4) $\frac{\pi}{6}$