関数 $f(x) = (ax^2 + bx + c)e^{-x}$ が、すべての実数 $x$ に対して $f'(x) = f(x) + xe^{-x}$ を満たすとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (ax^2 + bx + c)e^{-x}$ が、すべての実数 $x$ に対して $f'(x) = f(x) + xe^{-x}$ を満たすとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = (ax^2 + bx + c)e^{-x}$

積の微分公式より、

$f'(x) = (2ax + b)e^{-x} + (ax^2 + bx + c)(-e^{-x})$

$f'(x) = (2ax + b - ax^2 - bx - c)e^{-x}$

$f'(x) = (-ax^2 + (2a - b)x + (b - c))e^{-x}$

次に、$f'(x) = f(x) + xe^{-x}$ に求めた $f'(x)$ と $f(x)$ を代入します。

$(-ax^2 + (2a - b)x + (b - c))e^{-x} = (ax^2 + bx + c)e^{-x} + xe^{-x}$

両辺を $e^{-x}$ で割ります。( $e^{-x} > 0$ より)

$-ax^2 + (2a - b)x + (b - c) = ax^2 + bx + c + x$

$-ax^2 + (2a - b)x + (b - c) = ax^2 + (b + 1)x + c$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、$x^2$, $x$, 定数項の係数がそれぞれ等しくなければなりません。

$x^2$ の係数: $-a = a \implies 2a = 0 \implies a = 0$

$x$ の係数: $2a - b = b + 1 \implies 2a = 2b + 1$

定数項: $b - c = c \implies b = 2c$

$a = 0$ を $2a = 2b + 1$ に代入すると、

$0 = 2b + 1 \implies 2b = -1 \implies b = -\frac{1}{2}$

$b = 2c$ に $b = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$-\frac{1}{2} = 2c \implies c = -\frac{1}{4}$

したがって、$a = 0$, $b = -\frac{1}{2}$, $c = -\frac{1}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$a = 0, b = -\frac{1}{2}, c = -\frac{1}{4}$