与えられた関数 $f(x)$ に対して、以下の操作を行います。 * $f(x)$ の0階微分（元の関数）、1階微分、2階微分を計算する。 * それぞれの微分に $x = 0$ を代入して、$f^{(0)}(0), f^{(1)}(0), f^{(2)}(0)$ を求める。 * 2次までの $x=0$ でのテイラー展開を、剰余項を$R_3$で表して求める。

はい、承知いたしました。問題文の内容を理解し、それぞれの問題について、微分係数を求め、2次までのテイラー展開を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、以下の操作を行います。

* $f(x)$ の0階微分（元の関数）、1階微分、2階微分を計算する。

* それぞれの微分に $x = 0$ を代入して、$f^{(0)}(0), f^{(1)}(0), f^{(2)}(0)$ を求める。

* 2次までの $x=0$ でのテイラー展開を、剰余項を$R_3$で表して求める。

2. 解き方の手順

テイラー展開は以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

ここで、$f(0), f'(0), f''(0)$ はそれぞれ、$f(x)$、$f'(x)$、$f''(x)$ に $x = 0$ を代入した値です。

以下、各関数について計算します。

(1) $f(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$f'(x) = -1(1+x)^{-2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f''(x) = 2(1+x)^{-3} = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f(0) = 1$

$f'(0) = -1$

$f''(0) = 2$

$f(x) = 1 - x + \frac{2}{2}x^2 + R_3 = 1 - x + x^2 + R_3$

(2) $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} = (1+x)^{-2}$

$f'(x) = -2(1+x)^{-3} = \frac{-2}{(1+x)^3}$

$f''(x) = 6(1+x)^{-4} = \frac{6}{(1+x)^4}$

$f(0) = 1$

$f'(0) = -2$

$f''(0) = 6$

$f(x) = 1 - 2x + \frac{6}{2}x^2 + R_3 = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

(3) $f(x) = \cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$

$f'(x) = -\sin(2x)$

$f''(x) = -2\cos(2x)$

$f(0) = 1$

$f'(0) = 0$

$f''(0) = -2$

$f(x) = 1 + 0x + \frac{-2}{2}x^2 + R_3 = 1 - x^2 + R_3$

(4) $f(x) = \sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$

$f'(x) = \sin(2x)$

$f''(x) = 2\cos(2x)$

$f(0) = 0$

$f'(0) = 0$

$f''(0) = 2$

$f(x) = 0 + 0x + \frac{2}{2}x^2 + R_3 = x^2 + R_3$

(5) $f(x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$

$f'(x) = 2\cos(2x)$

$f''(x) = -4\sin(2x)$

$f(0) = 0$

$f'(0) = 2$

$f''(0) = 0$

$f(x) = 0 + 2x + 0x^2 + R_3 = 2x + R_3$

(6) $f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f(0) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = -1$

$f(x) = 0 + x + \frac{-1}{2}x^2 + R_3 = x - \frac{x^2}{2} + R_3$

(7) $f(x) = (x+1)\log(1+x)$

$f'(x) = \log(1+x) + \frac{x+1}{1+x} = \log(1+x) + 1$

$f''(x) = \frac{1}{1+x}$

$f(0) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = 1$

$f(x) = 0 + x + \frac{1}{2}x^2 + R_3 = x + \frac{x^2}{2} + R_3$

(8) $f(x) = xe^x$

$f'(x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$f''(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

$f(0) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = 2$

$f(x) = 0 + x + \frac{2}{2}x^2 + R_3 = x + x^2 + R_3$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 1 - x + x^2 + R_3$

(2) $f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

(3) $f(x) = 1 - x^2 + R_3$

(4) $f(x) = x^2 + R_3$

(5) $f(x) = 2x + R_3$

(6) $f(x) = x - \frac{x^2}{2} + R_3$

(7) $f(x) = x + \frac{x^2}{2} + R_3$

(8) $f(x) = x + x^2 + R_3$