次の2つの定積分を求めます。 (1) $\int_{0}^{1} x(1-x)^5 dx$ (2) $\int_{2}^{5} \frac{x}{\sqrt{x-1}} dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を求めます。

(1) $\int_{0}^{1} x(1-x)^5 dx$

(2) $\int_{2}^{5} \frac{x}{\sqrt{x-1}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} x(1-x)^5 dx$

$t = 1-x$ と置換すると、$x = 1-t$、$dx = -dt$。積分範囲は $x: 0 \to 1$ から $t: 1 \to 0$ に変わります。

$\int_{0}^{1} x(1-x)^5 dx = \int_{1}^{0} (1-t)t^5 (-dt) = \int_{0}^{1} (1-t)t^5 dt = \int_{0}^{1} (t^5 - t^6) dt$

$= \left[ \frac{t^6}{6} - \frac{t^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{7-6}{42} = \frac{1}{42}$

(2) $\int_{2}^{5} \frac{x}{\sqrt{x-1}} dx$

$t = x-1$ と置換すると、$x = t+1$、$dx = dt$。積分範囲は $x: 2 \to 5$ から $t: 1 \to 4$ に変わります。

$\int_{2}^{5} \frac{x}{\sqrt{x-1}} dx = \int_{1}^{4} \frac{t+1}{\sqrt{t}} dt = \int_{1}^{4} \left( \frac{t}{\sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt{t}} \right) dt = \int_{1}^{4} (t^{1/2} + t^{-1/2}) dt$

$= \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} + \frac{t^{1/2}}{1/2} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} + 2t^{1/2} \right]_{1}^{4} = \left( \frac{2}{3} (4)^{3/2} + 2(4)^{1/2} \right) - \left( \frac{2}{3} (1)^{3/2} + 2(1)^{1/2} \right)$

$= \left( \frac{2}{3} (8) + 2(2) \right) - \left( \frac{2}{3} + 2 \right) = \frac{16}{3} + 4 - \frac{2}{3} - 2 = \frac{14}{3} + 2 = \frac{14}{3} + \frac{6}{3} = \frac{20}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{42}$

(2) $\frac{20}{3}$