与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx$ (2) $\int_{0}^{\pi} (x+1)\cos x dx$ (3) $\int_{1}^{2} (2x+1)\log|x| dx$ (4) $\int_{1}^{e} x^2 \log|x| dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx$

(2) $\int_{0}^{\pi} (x+1)\cos x dx$

(3) $\int_{1}^{2} (2x+1)\log|x| dx$

(4) $\int_{1}^{e} x^2 \log|x| dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx$

部分積分を利用します。$u = x-1$, $dv = e^{-x}dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int (x-1)e^{-x} dx = -(x-1)e^{-x} - \int (-e^{-x})dx = -(x-1)e^{-x} - e^{-x} + C = -xe^{-x} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{1} = -1 \cdot e^{-1} - 0 = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$

(2) $\int_{0}^{\pi} (x+1)\cos x dx$

部分積分を利用します。$u = x+1$, $dv = \cos x dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int (x+1)\cos x dx = (x+1)\sin x - \int \sin x dx = (x+1)\sin x + \cos x + C$

したがって、

$\int_{0}^{\pi} (x+1)\cos x dx = [(x+1)\sin x + \cos x]_{0}^{\pi} = ((\pi+1)\sin \pi + \cos \pi) - ((0+1)\sin 0 + \cos 0) = (0 - 1) - (0 + 1) = -2$

(3) $\int_{1}^{2} (2x+1)\log|x| dx$

$x$ の範囲が $[1, 2]$ であるので、$\log|x| = \log x$ です。

部分積分を利用します。$u = \log x$, $dv = (2x+1) dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^2 + x$ となります。

$\int (2x+1)\log x dx = (x^2+x)\log x - \int (x^2+x)\frac{1}{x} dx = (x^2+x)\log x - \int (x+1) dx = (x^2+x)\log x - (\frac{x^2}{2}+x) + C$

したがって、

$\int_{1}^{2} (2x+1)\log x dx = [(x^2+x)\log x - (\frac{x^2}{2}+x)]_{1}^{2} = ((4+2)\log 2 - (\frac{4}{2}+2)) - ((1+1)\log 1 - (\frac{1}{2}+1)) = 6\log 2 - 4 - (0 - \frac{3}{2}) = 6\log 2 - 4 + \frac{3}{2} = 6\log 2 - \frac{5}{2}$

(4) $\int_{1}^{e} x^2 \log|x| dx$

$x$ の範囲が $[1, e]$ であるので、$\log|x| = \log x$ です。

部分積分を利用します。$u = \log x$, $dv = x^2 dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

$\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3}\log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}\log x - \int \frac{x^2}{3} dx = \frac{x^3}{3}\log x - \frac{x^3}{9} + C$

したがって、

$\int_{1}^{e} x^2 \log x dx = [\frac{x^3}{3}\log x - \frac{x^3}{9}]_{1}^{e} = (\frac{e^3}{3}\log e - \frac{e^3}{9}) - (\frac{1}{3}\log 1 - \frac{1}{9}) = (\frac{e^3}{3} - \frac{e^3}{9}) - (0 - \frac{1}{9}) = \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2e^3+1}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{e}$

(2) $-2$

(3) $6\log 2 - \frac{5}{2}$

(4) $\frac{2e^3+1}{9}$