与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx$ (2) $\int_{0}^{\pi} (x+1)\cos x dx$ (3) $\int_{1}^{2} (2x+1)\log|x| dx$ (4) $\int_{1}^{e} x^2 \log|x| dx$

解析学定積分部分積分積分
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算する問題です。
(1) 01(x1)exdx\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx
(2) 0π(x+1)cosxdx\int_{0}^{\pi} (x+1)\cos x dx
(3) 12(2x+1)logxdx\int_{1}^{2} (2x+1)\log|x| dx
(4) 1ex2logxdx\int_{1}^{e} x^2 \log|x| dx

2. 解き方の手順

(1) 01(x1)exdx\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx
部分積分を利用します。u=x1u = x-1, dv=exdxdv = e^{-x}dx とおくと、du=dxdu = dx, v=exv = -e^{-x} となります。
(x1)exdx=(x1)ex(ex)dx=(x1)exex+C=xex+C\int (x-1)e^{-x} dx = -(x-1)e^{-x} - \int (-e^{-x})dx = -(x-1)e^{-x} - e^{-x} + C = -xe^{-x} + C
したがって、
01(x1)exdx=[xex]01=1e10=e1=1e\int_{0}^{1} (x-1)e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_{0}^{1} = -1 \cdot e^{-1} - 0 = -e^{-1} = -\frac{1}{e}
(2) 0π(x+1)cosxdx\int_{0}^{\pi} (x+1)\cos x dx
部分積分を利用します。u=x+1u = x+1, dv=cosxdxdv = \cos x dx とおくと、du=dxdu = dx, v=sinxv = \sin x となります。
(x+1)cosxdx=(x+1)sinxsinxdx=(x+1)sinx+cosx+C\int (x+1)\cos x dx = (x+1)\sin x - \int \sin x dx = (x+1)\sin x + \cos x + C
したがって、
0π(x+1)cosxdx=[(x+1)sinx+cosx]0π=((π+1)sinπ+cosπ)((0+1)sin0+cos0)=(01)(0+1)=2\int_{0}^{\pi} (x+1)\cos x dx = [(x+1)\sin x + \cos x]_{0}^{\pi} = ((\pi+1)\sin \pi + \cos \pi) - ((0+1)\sin 0 + \cos 0) = (0 - 1) - (0 + 1) = -2
(3) 12(2x+1)logxdx\int_{1}^{2} (2x+1)\log|x| dx
xx の範囲が [1,2][1, 2] であるので、logx=logx\log|x| = \log x です。
部分積分を利用します。u=logxu = \log x, dv=(2x+1)dxdv = (2x+1) dx とおくと、du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=x2+xv = x^2 + x となります。
(2x+1)logxdx=(x2+x)logx(x2+x)1xdx=(x2+x)logx(x+1)dx=(x2+x)logx(x22+x)+C\int (2x+1)\log x dx = (x^2+x)\log x - \int (x^2+x)\frac{1}{x} dx = (x^2+x)\log x - \int (x+1) dx = (x^2+x)\log x - (\frac{x^2}{2}+x) + C
したがって、
12(2x+1)logxdx=[(x2+x)logx(x22+x)]12=((4+2)log2(42+2))((1+1)log1(12+1))=6log24(032)=6log24+32=6log252\int_{1}^{2} (2x+1)\log x dx = [(x^2+x)\log x - (\frac{x^2}{2}+x)]_{1}^{2} = ((4+2)\log 2 - (\frac{4}{2}+2)) - ((1+1)\log 1 - (\frac{1}{2}+1)) = 6\log 2 - 4 - (0 - \frac{3}{2}) = 6\log 2 - 4 + \frac{3}{2} = 6\log 2 - \frac{5}{2}
(4) 1ex2logxdx\int_{1}^{e} x^2 \log|x| dx
xx の範囲が [1,e][1, e] であるので、logx=logx\log|x| = \log x です。
部分積分を利用します。u=logxu = \log x, dv=x2dxdv = x^2 dx とおくと、du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=x33v = \frac{x^3}{3} となります。
x2logxdx=x33logxx331xdx=x33logxx23dx=x33logxx39+C\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3}\log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}\log x - \int \frac{x^2}{3} dx = \frac{x^3}{3}\log x - \frac{x^3}{9} + C
したがって、
1ex2logxdx=[x33logxx39]1e=(e33logee39)(13log119)=(e33e39)(019)=2e39+19=2e3+19\int_{1}^{e} x^2 \log x dx = [\frac{x^3}{3}\log x - \frac{x^3}{9}]_{1}^{e} = (\frac{e^3}{3}\log e - \frac{e^3}{9}) - (\frac{1}{3}\log 1 - \frac{1}{9}) = (\frac{e^3}{3} - \frac{e^3}{9}) - (0 - \frac{1}{9}) = \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2e^3+1}{9}

3. 最終的な答え

(1) 1e-\frac{1}{e}
(2) 2-2
(3) 6log2526\log 2 - \frac{5}{2}
(4) 2e3+19\frac{2e^3+1}{9}

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