与えられた9個の関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

解析学導関数微分合成関数積の微分商の微分対数微分三角関数
2025/7/9
はい、承知しました。与えられた関数の導関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた9個の関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) y=(x3+3x+9)10y = (x^3 + 3x + 9)^{10}
合成関数の微分公式を用いる。u=x3+3x+9u = x^3 + 3x + 9 とおくと、y=u10y = u^{10}
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydu=10u9\frac{dy}{du} = 10u^9
dudx=3x2+3\frac{du}{dx} = 3x^2 + 3
よって、
dydx=10(x3+3x+9)9(3x2+3)=30(x2+1)(x3+3x+9)9\frac{dy}{dx} = 10(x^3 + 3x + 9)^9 (3x^2 + 3) = 30(x^2 + 1)(x^3 + 3x + 9)^9
(2) y=e2xsin3xy = e^{2x} \sin 3x
積の微分公式を用いる。(uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv'
u=e2xu = e^{2x}, v=sin3xv = \sin 3x とおくと、
u=2e2xu' = 2e^{2x}, v=3cos3xv' = 3\cos 3x
よって、
dydx=2e2xsin3x+e2x(3cos3x)=e2x(2sin3x+3cos3x)\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}\sin 3x + e^{2x}(3\cos 3x) = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)
(3) y=2x+1x2+8x+4y = \frac{2x + 1}{x^2 + 8x + 4}
商の微分公式を用いる。(uv)=uvuvv2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
u=2x+1u = 2x + 1, v=x2+8x+4v = x^2 + 8x + 4 とおくと、
u=2u' = 2, v=2x+8v' = 2x + 8
よって、
dydx=2(x2+8x+4)(2x+1)(2x+8)(x2+8x+4)2=2x2+16x+8(4x2+18x+8)(x2+8x+4)2=2x22x(x2+8x+4)2=2x(x+1)(x2+8x+4)2\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2 + 8x + 4) - (2x + 1)(2x + 8)}{(x^2 + 8x + 4)^2} = \frac{2x^2 + 16x + 8 - (4x^2 + 18x + 8)}{(x^2 + 8x + 4)^2} = \frac{-2x^2 - 2x}{(x^2 + 8x + 4)^2} = \frac{-2x(x + 1)}{(x^2 + 8x + 4)^2}
(4) y=1x2+1=(x2+1)1/2y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = (x^2 + 1)^{-1/2}
合成関数の微分公式を用いる。u=x2+1u = x^2 + 1 とおくと、y=u1/2y = u^{-1/2}
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydu=12u3/2\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-3/2}
dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x
よって、
dydx=12(x2+1)3/2(2x)=x(x2+1)3/2=x(x2+1)3/2\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-3/2} (2x) = -x(x^2 + 1)^{-3/2} = \frac{-x}{(x^2 + 1)^{3/2}}
(5) y=log(log(x2+9))y = \log(\log(x^2 + 9))
合成関数の微分公式を用いる。u=log(x2+9)u = \log(x^2 + 9), v=x2+9v = x^2 + 9 とおくと、y=log(u)y = \log(u)
dydx=dydududvdvdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} より、
dydu=1u=1log(x2+9)\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{\log(x^2 + 9)}
dudv=1v=1x2+9\frac{du}{dv} = \frac{1}{v} = \frac{1}{x^2 + 9}
dvdx=2x\frac{dv}{dx} = 2x
よって、
dydx=1log(x2+9)1x2+92x=2x(x2+9)log(x2+9)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log(x^2 + 9)} \cdot \frac{1}{x^2 + 9} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 + 9)\log(x^2 + 9)}
(6) y=tan2x=(tanx)2y = \tan^2 x = (\tan x)^2
合成関数の微分公式を用いる。u=tanxu = \tan x とおくと、y=u2y = u^2
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydu=2u=2tanx\frac{dy}{du} = 2u = 2\tan x
dudx=sec2x\frac{du}{dx} = \sec^2 x
よって、
dydx=2tanxsec2x\frac{dy}{dx} = 2\tan x \sec^2 x
(7) y=cos3xy = \cos^3 \sqrt{x}
合成関数の微分公式を用いる。u=xu = \sqrt{x}, v=cosuv = \cos u とおくと、y=v3y = v^3
dydx=dydvdvdududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydv=3v2=3cos2x\frac{dy}{dv} = 3v^2 = 3\cos^2 \sqrt{x}
dvdu=sinu=sinx\frac{dv}{du} = -\sin u = -\sin \sqrt{x}
dudx=12x\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
よって、
dydx=3cos2x(sinx)12x=3cos2xsinx2x\frac{dy}{dx} = 3\cos^2 \sqrt{x} \cdot (-\sin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
(8) y=sin1(x2)y = \sin^{-1}(x^2)
合成関数の微分公式を用いる。u=x2u = x^2 とおくと、y=sin1(u)y = \sin^{-1}(u)
dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} より、
dydu=11u2=11x4\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^4}}
dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x
よって、
dydx=11x42x=2x1x4\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}
(9) y=x1xy = x^{\frac{1}{x}}
両辺の対数をとる。
logy=1xlogx\log y = \frac{1}{x} \log x
両辺を xx で微分する。
1ydydx=1x2logx+1x1x=1logxx2\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}\log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - \log x}{x^2}
よって、
dydx=y1logxx2=x1x1logxx2\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1 - \log x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}

3. 最終的な答え

(1) 30(x2+1)(x3+3x+9)930(x^2 + 1)(x^3 + 3x + 9)^9
(2) e2x(2sin3x+3cos3x)e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)
(3) 2x(x+1)(x2+8x+4)2\frac{-2x(x + 1)}{(x^2 + 8x + 4)^2}
(4) x(x2+1)3/2\frac{-x}{(x^2 + 1)^{3/2}}
(5) 2x(x2+9)log(x2+9)\frac{2x}{(x^2 + 9)\log(x^2 + 9)}
(6) 2tanxsec2x2\tan x \sec^2 x
(7) 3cos2xsinx2x-\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
(8) 2x1x4\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}
(9) x1x1logxx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}

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