与えられた9個の関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

はい、承知しました。与えられた関数の導関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた9個の関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^3 + 3x + 9)^{10}$

合成関数の微分公式を用いる。$u = x^3 + 3x + 9$ とおくと、$y = u^{10}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 10u^9$

$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 10(x^3 + 3x + 9)^9 (3x^2 + 3) = 30(x^2 + 1)(x^3 + 3x + 9)^9$

(2) $y = e^{2x} \sin 3x$

積の微分公式を用いる。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = e^{2x}$, $v = \sin 3x$ とおくと、

$u' = 2e^{2x}$, $v' = 3\cos 3x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}\sin 3x + e^{2x}(3\cos 3x) = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(3) $y = \frac{2x + 1}{x^2 + 8x + 4}$

商の微分公式を用いる。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = 2x + 1$, $v = x^2 + 8x + 4$ とおくと、

$u' = 2$, $v' = 2x + 8$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2 + 8x + 4) - (2x + 1)(2x + 8)}{(x^2 + 8x + 4)^2} = \frac{2x^2 + 16x + 8 - (4x^2 + 18x + 8)}{(x^2 + 8x + 4)^2} = \frac{-2x^2 - 2x}{(x^2 + 8x + 4)^2} = \frac{-2x(x + 1)}{(x^2 + 8x + 4)^2}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} = (x^2 + 1)^{-1/2}$

合成関数の微分公式を用いる。$u = x^2 + 1$ とおくと、$y = u^{-1/2}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-3/2}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-3/2} (2x) = -x(x^2 + 1)^{-3/2} = \frac{-x}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

(5) $y = \log(\log(x^2 + 9))$

合成関数の微分公式を用いる。$u = \log(x^2 + 9)$, $v = x^2 + 9$ とおくと、$y = \log(u)$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{\log(x^2 + 9)}$

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v} = \frac{1}{x^2 + 9}$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log(x^2 + 9)} \cdot \frac{1}{x^2 + 9} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 + 9)\log(x^2 + 9)}$

(6) $y = \tan^2 x = (\tan x)^2$

合成関数の微分公式を用いる。$u = \tan x$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 2u = 2\tan x$

$\frac{du}{dx} = \sec^2 x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2\tan x \sec^2 x$

(7) $y = \cos^3 \sqrt{x}$

合成関数の微分公式を用いる。$u = \sqrt{x}$, $v = \cos u$ とおくと、$y = v^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{dv} = 3v^2 = 3\cos^2 \sqrt{x}$

$\frac{dv}{du} = -\sin u = -\sin \sqrt{x}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3\cos^2 \sqrt{x} \cdot (-\sin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

(8) $y = \sin^{-1}(x^2)$

合成関数の微分公式を用いる。$u = x^2$ とおくと、$y = \sin^{-1}(u)$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^4}}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$

(9) $y = x^{\frac{1}{x}}$

両辺の対数をとる。

$\log y = \frac{1}{x} \log x$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}\log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1 - \log x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $30(x^2 + 1)(x^3 + 3x + 9)^9$

(2) $e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(3) $\frac{-2x(x + 1)}{(x^2 + 8x + 4)^2}$

(4) $\frac{-x}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

(5) $\frac{2x}{(x^2 + 9)\log(x^2 + 9)}$

(6) $2\tan x \sec^2 x$

(7) $-\frac{3\cos^2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

(8) $\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$

(9) $x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}$