## 問題の内容

解析学極限有理化三角関数マクローリン展開
2025/7/9
## 問題の内容
次の5つの極限を計算します。
(1) limx12x+34x+1x1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}
(2) limx(4x2+x2x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x)
(3) limx0sin3xsin5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}
(4) limx0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}
(5) limx0tan1xxx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x - x}{x^3}
## 解き方の手順
(1) limx12x+34x+1x1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}
分母と分子に 2x+3+4x+1\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1} を掛けて、有理化します。
limx1(2x+34x+1)(2x+3+4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx1(2x+3)(4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx12x+2(x1)(2x+3+4x+1)\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{(2x+3) - (4x+1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2x+2}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}
=limx12(x1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx122x+3+4x+1= \lim_{x \to 1} \frac{-2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}}
x=1x = 1 を代入すると、25+5=225=15\frac{-2}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}
(2) limx(4x2+x2x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x)
分母と分子に 4x2+x+2x\sqrt{4x^2 + x} + 2x を掛けて、有理化します。
limx(4x2+x2x)(4x2+x+2x)4x2+x+2x=limx(4x2+x)4x24x2+x+2x=limxx4x2+x+2x\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + x} - 2x)(\sqrt{4x^2 + x} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 + x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}
分子と分母を xx で割ります。
limx14+1x+2=14+0+2=12+2=14\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4+0} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}
(3) limx0sin3xsin5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}
limx0sin3xsin5x=limx0sin3x3x5xsin5x3x5x=limx0sin3x3xlimx05xsin5xlimx03x5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x}
limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 であるから、
=1135=35= 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}
(4) limx0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}
y=(1+3x)2xy = (1+3x)^{\frac{2}{x}} とおくと、 lny=2xln(1+3x)\ln y = \frac{2}{x} \ln(1+3x)
limx0lny=limx02ln(1+3x)x=limx02ln(1+3x)3x3=213=6\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{2 \ln(1+3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \ln(1+3x)}{3x} \cdot 3 = 2 \cdot 1 \cdot 3 = 6
limx0ln(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 であるから、limx0lny=6\lim_{x \to 0} \ln y = 6
よって、 limx0y=e6\lim_{x \to 0} y = e^6
(5) limx0tan1xxx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x - x}{x^3}
tan1x\tan^{-1}x のマクローリン展開を利用します。
tan1x=xx33+x55x77+\tan^{-1}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots
limx0tan1xxx3=limx0(xx33+x55)xx3=limx0x33+x55x3=limx0(13+x25)\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots}{x^3} = \lim_{x \to 0} (-\frac{1}{3} + \frac{x^2}{5} - \cdots)
=13= -\frac{1}{3}
## 最終的な答え
(1) 15-\frac{1}{\sqrt{5}}
(2) 14\frac{1}{4}
(3) 35\frac{3}{5}
(4) e6e^6
(5) 13-\frac{1}{3}

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