## 問題の内容

## 問題の内容

次の5つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x)$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$

(4) $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x - x}{x^3}$

## 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}$

分母と分子に $\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}$ を掛けて、有理化します。

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{(2x+3) - (4x+1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2x+2}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{-2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}}$

$x = 1$ を代入すると、$\frac{-2}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + x} - 2x)$

分母と分子に $\sqrt{4x^2 + x} + 2x$ を掛けて、有理化します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + x} - 2x)(\sqrt{4x^2 + x} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 + x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4x^2 + x} + 2x}$

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4+0} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であるから、

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$

(4) $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}$

$y = (1+3x)^{\frac{2}{x}}$ とおくと、 $\ln y = \frac{2}{x} \ln(1+3x)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{2 \ln(1+3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \ln(1+3x)}{3x} \cdot 3 = 2 \cdot 1 \cdot 3 = 6$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ であるから、$\lim_{x \to 0} \ln y = 6$

よって、 $\lim_{x \to 0} y = e^6$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x - x}{x^3}$

$\tan^{-1}x$ のマクローリン展開を利用します。

$\tan^{-1}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots}{x^3} = \lim_{x \to 0} (-\frac{1}{3} + \frac{x^2}{5} - \cdots)$

$= -\frac{1}{3}$

## 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{\sqrt{5}}$

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $\frac{3}{5}$

(4) $e^6$

(5) $-\frac{1}{3}$